数据结构-串(第四章)的整理笔记，若有错误，欢迎指正。

Brute—Force算法

• Brute—Force(暴力)简称为BF算法，也称简单匹配算法，采用穷举方法。其思想就是将目标串S的第一个字符与模式串T的第一个字符进行匹配，若相等，则继续比较S的第二个字符和T的第二个字符；若不相等，则比较S的第二个字符和T的第一个字符，依次比较下去，直到得出最后的匹配结果。BF算法是一种蛮力算法。

• 时间复杂度：
  最坏情况下要进行(n-m+1)m次比较，时间复杂度为O(m×n)。
  最好情况下的时间复杂度为O(m)，即主串的前m个字符正好等于模式串的m个字符。
  平均时间复杂度O(m×n)
• 其中，n和m分别为主串和模式串的长度

算法实现

int Index(SqString s, SqString t)
{
	int i = 0, j = 0;
	while (i < s.length && j < t.length) //两个串都没有扫描完时循环
	{
		if (s.data[i] == t.data[j]) //当前比较的两个字符相同
		{
			i++; j++; //依次比较后续的两个字符
		}
		else //当前比较的两个字符不相同
		{
			i = i - j + 1; //扫描目标串的i回退，子串从头开始匹配
			j = 0;
		}
	}
	if (j >= t.length) return i - t.length; //j越界，表示t是s的子串
	else return -1; //匹配失败，返回-1
}

分析

• 运行结果：
  
  

KMP算法

• KMP算法是一种改进的字符串匹配算法，由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt提出的，因此人们称它为克努特—莫里斯—普拉特操作（简称KMP算法）。其核心是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是通过一个next()函数实现，函数本身包含了模式串的局部匹配信息。
  
  

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求KMP算法中next数组的两种方法

方法一

• next数组的前两个空位每次都可以无脑写0和1(如果写成-1和0，则数组中的值全部也要减1)
• 具体求法看下图：
  
  最终求得串"google"的next数值为

j	1	2	3	4	5	6
t[j]	g	o	o	g	l	e
next[j]	0	1	1	1	2	1

或者也可以写为

j	0	1	2	3	4	5
t[j]	g	o	o	g	l	e
next[j]	-1	0	0	0	1	0

方法二

• 字符串的前缀、后缀和部分匹配值

1. 前缀指除最后一个字符以外，字符串的所有头部子串；
2. 后缀指除第一个字符外，字符串的所有尾部子串；
3. 部分匹配值则为字符串的前缀和后缀的最长相等前后缀长度。

• 下面以’ ababa为例进行说明：

1. 'a’的前缀和后缀都为空集，最长相等前后级长度为0。
2. 'ab’的前缀为{a}，后缀为{b}，{a}∩{b}=$\varnothing$，最长相等前后缀长度为0。
3. 'aba’的前缀为{a,ab}，后缀为{a,ba}，{a,ab}∩{a,ba}={a}，最长相等前后缀长度为1。
4. 'abab"的前缀{a,ab,aba}，后缀{b,ab,bab}，{a,ab,aba}∩{b,ab,bab}={ab}，最长相等前后缀长度为2。
5. 'ababa’的前缀{a,ab,aba,abab}，后缀{a,ba,aba,baba}，{a,ab,aba,abab}∩{a,ba,aba,baba}={a,aba}，最长相等前后缀长度为3。

• 故字符串’ ababa’的部分匹配值为00123。

• 将部分匹配值写成数组形式，就得到了部分匹配值(Partial Match，PM)的表。

编号	1	2	3	4	5
S	a	b	a	b	a
PM	0	0	1	2	3

• 下面用PM表来进行字符串匹配：（主串为：ababcababab，子串为ababa）

主串	a	b	a	b	c	a	b	a	b	a	b
子串	a	b	a	b	a
第一趟	a	b	a	b	a

• 第一趟匹配过程：发现a与c不匹配，前面的4个字符’abab’是匹配的，查表可知，最后一个匹配字符’b’对应的部分匹配值为2，因此按照公式：移动位数=已匹配的字符数-对应的部分匹配值，算出子串需要向后移动4-2=2位。

主串	a	b	a	b	c	a	b	a	b	a	b
子串			a	b	a	b	a
第二趟			a	b	a	b	a

• 第二趟匹配过程：发现a与c不匹配，前面2个字符’ab’是匹配的，最后一个匹配字符’b’对应的部分匹配值为0，算出子串需要向后移动2-0=2位。

主串	a	b	a	b	c	a	b	a	b	a	b
子串					a	b	a	b	a
第三趟					a	b	a	b	a

• 第三趟匹配过程：发现a与c不匹配，此时第一个字符就不匹配，子串向后移动1位。

主串	a	b	a	b	c	a	b	a	b	a	b
子串						a	b	a	b	a
第四趟						a	b	a	b	a

• 子串全部比较完成，匹配成功。整个匹配过程中，主串始终没有回退，故KMP算法可以在O(n+m)的时间数量级上完成串的模式匹配操作，大大提高了匹配效率。

算法实现

void Get_Next(SqString t, int next[]) //由模式串t求出next数组
{
	int i = 0, j = -1; //i扫描t，j记录t[i]之前与t开头相同的字符个数
	next[0] = -1; //设置next[0]的值
	while (i < t.length - 1) //求t所有位置的next值
	{
		if (j == -1 || t.data[i] == t.data[j]) //k为-1或比较的字符相等时
		{
			i++; j++; //i、j依次移到下一个字符
			next[i] = j; //设置next[i]=j
		}
		else j = next[j]; //j回退
	}
}

int Index(SqString s, SqString t)
{
	int next[MaxSize], i = 0, j = 0;
	Get_Next(t, next);
	while (i < s.length && j < t.length) 
	{
		if (j == -1 ||s.data[i] == t.data[j]) 
		{
			i++; j++;
		}
		else 
			j = next[j];
	}
	if (j >= t.length) return i - t.length; 
	else return -1; 
}

分析

• 运行结果：
  
  

改进的KMP算法

• 从j=1开始，依次判断$t[j]$是否等于$t[next[j]]$。相等则将$next[j]$修正为$next[next[j]]$，直至两者不相等为止。

• $j=1t[1]\ne (t[next[1]]\to t[0])next[1]=0$
• $j=2t[2]\ne (t[next[2]]\to t[0])next[2]=0$
• $j=3t[3]=(t[next[3]]\to t[0])next[3]=(next[next[3]]\to next[0])=-1$
• $j=4t[4]=(t[next[4]]\to t[1])next[4]=(next[next[4]]\to next[0])=0$
• $j=5t[5]\ne (t[next[5]]\to t[2])next[5]=2$
• $j=6t[6]\ne (t[next[6]]\to t[1])next[6]=1$

对于每一个串，next数组的next[0]=-1,next[1]=0;nextval数组的nextval[0]=-1,nextval[1]=0，这些值都是固定的！

j	0	1	2	3	4	5	6
t[j]	a	b	c	a	b	a	a
next[j]	-1	0	0	0	1	2	1
nextval[j]	-1	0	0	-1	0	2	1

算法实现

void Get_Nextval(SqString t, int nextval[])
{
	int i = 0, j = -1;
	nextval[0] = -1;
	while (i < t.length)
	{
		if (j == -1 || t.data[i] == t.data[j])
		{
			i++; j++;
			if (t.data[i] != t.data[j])
				nextval[i] = j;
			else nextval[i] = nextval[j];
		}
		else j = nextval[j];
	}
}

int Index(SqString s, SqString t)
{
	int nextval[MaxSize], i = 0, j = 0;
	Get_Nextval(t, nextval);
	while (i < s.length && j < t.length) 
	{
		if (j == -1 ||s.data[i] == t.data[j]) 
		{
			i++; j++;
		}
		else 
			j = nextval[j];
	}
	if (j >= t.length) return i - t.length; 
	else return -1; 
}

Brute—Force算法和KMP算法的比较

1. Brute—Force算法时间复杂度：O(m×n)；KMP算法时间复杂度：O(m+n)。
2. Brute—Force算法简单且易于理解，但效率不高，主要原因是主串指针在某些情况下需回溯；而KMP算法在此基础之上有较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。
3. ！注意：KMP算法的平均时间复杂度虽然优于BF算法，但并不等于说任何情况下KMP算法都优于BF算法。当模式串的next数组中next[0]=-1，而其他元素值均为0时，KMP算法退化为BF算法。

完整代码

#include<stdio.h>
#define MaxSize 50
typedef char ElemType;
typedef struct
{
	ElemType data[MaxSize];
	int length;
}SqString;

void StrAssign(SqString& s, char cstr[]) //s为引用型参数
{
	int i;
	for (i = 0; cstr[i] != '\0'; i++)
		s.data[i] = cstr[i];
	s.length = i; //设置串s的长度
}

void PrintString(SqString s)
{
	for (int i = 0; i < s.length; i++)
		printf("%c", s.data[i]);
}

int Index(SqString s, SqString t) //简单匹配算法
{
	int i = 0, j = 0;
	while (i < s.length && j < t.length) //两个串都没有扫描完时循环
	{
		if (s.data[i] == t.data[j]) //当前比较的两个字符相同
		{
			i++; j++; //依次比较后续的两个字符
		}
		else //当前比较的两个字符不相同
		{
			i = i - j + 1; //扫描目标串的i回退，子串从头开始匹配
			j = 0;
		}
	}
	if (j >= t.length) return i - t.length; //j越界，表示t是s的子串
	else return -1; //匹配失败，返回-1
}

void Get_Next(SqString t, int next[]) //由模式串t求出next数组
{
	int i = 0, j = -1; //i扫描t，j记录t[i]之前与t开头相同的字符个数
	next[0] = -1; //设置next[0]的值
	while (i < t.length - 1) //求t所有位置的next值
	{
		if (j == -1 || t.data[i] == t.data[j]) //k为-1或比较的字符相等时
		{
			i++; j++; //i、j依次移到下一个字符
			next[i] = j; //设置next[i]=j
		}
		else j = next[j]; //j回退
	}
}

int KMPIndex(SqString s, SqString t) //KMP算法
{
	int next[MaxSize], i = 0, j = 0;
	Get_Next(t, next);
	while (i < s.length && j < t.length)
	{
		if (j == -1 || s.data[i] == t.data[j])
		{
			i++; j++;
		}
		else
			j = next[j];
	}
	if (j >= t.length) return i - t.length;
	else return -1;
}

void Get_Nextval(SqString t, int nextval[]) //由模式串t求出nextval的值
{
	int i = 0, j = -1;
	nextval[0] = -1;
	while (i < t.length)
	{
		if (j == -1 || t.data[i] == t.data[j])
		{
			i++; j++;
			if (t.data[i] != t.data[j])
				nextval[i] = j;
			else nextval[i] = nextval[j];
		}
		else j = nextval[j];
	}
}

int KMPIndex1(SqString s, SqString t) //改进的KMP算法
{
	int nextval[MaxSize], i = 0, j = 0;
	Get_Nextval(t, nextval);
	while (i < s.length && j < t.length)
	{
		if (j == -1 || s.data[i] == t.data[j])
		{
			i++; j++;
		}
		else
			j = nextval[j];
	}
	if (j >= t.length) return i - t.length;
	else return -1;
}

int main()
{
	SqString s, t;
	int j;
	int next[MaxSize], nextval[MaxSize];
	ElemType cstr1[] = "abcabcdabcdeabcdefabcdefg";
	StrAssign(s, cstr1);
	printf("s：");
	PrintString(s);
	ElemType cstr2[] = "abcdeabcdefab";
	StrAssign(t, cstr2);
	printf("\nt：");
	PrintString(t);
	printf("\n简单匹配算法：\n");
	printf("  t在s中的位置=%d\n", Index(s, t));
	Get_Next(t, next); //由模式串t求出next的值
	Get_Nextval(t, nextval); //由模式串t求出nextval的值
	printf("   j    ");
	for (j = 0; j < t.length; j++) printf("%4d", j);
	printf("\n");
	printf(" t[j]   ");
	for (j = 0; j < t.length; j++) printf("%4c", t.data[j]);
	printf("\n");
	printf(" next   ");
	for (j = 0; j < t.length; j++) printf("%4d", next[j]);
	printf("\n");
	printf("nextval ");
	for (j = 0; j < t.length; j++) printf("%4d", nextval[j]);
	printf("\n");
	printf("KMP算法：\n");
	printf("  t在s中的位置=%d\n", KMPIndex(s, t));
	printf("改进的KMP算法：\n");
	printf("  t在s中的位置=%d\n", KMPIndex1(s, t));
	return 0;
}

运行结果