数据结构期末复习（9）
在题目中，选项A为O(n)，但实际上在双链表中删除尾结点应为O(1)。因此，总的比较次数为： (n−1)+(n−2)+⋯+1=n(n−1)2(n-1) + (n-2) + \cdots + 1 = \frac{n(n-1)}{2}(n−1)+(n−2)+⋯+1=2n(n−1)。然而，按照题目提供的答案A（O(n)），可能假设链表不维护尾指针，因此需要遍历链表找到尾结点，时间复杂度为O(n)。按照
目录
题目15：在长度为 n (n ≥ 1) 的双链表 L 中，删除尾结点的时间复杂度为（）。
题目18：对 n 个不同的排序码进行冒泡排序，在元素无序的情况下比较的次数为（）。
题目21：给定有 n 个元素向量，建立一个有序单链表的时间复杂度是（）。
题目25：在一个具有 n 个结点的有序单链表中插入一个新结点并仍然有序的时间复杂度是（）。
题目56：在单链表中删除 p 所指结点的后继结点，该算法的时间复杂度是（）。
题目15：在长度为 n (n ≥ 1) 的双链表 L 中，删除尾结点的时间复杂度为（）。
选项：
- A. O(n)
- B. O(n log₂n)
- C. O(n²)
- D. O(1)
正确答案：A
详细解析：
双链表简介：
双链表（Doubly Linked List）是一种链式数据结构，每个节点包含两个指针：
prev：指向前驱节点。next：指向后继节点。
删除尾结点的操作：
- 有尾指针的双链表：
- 时间复杂度：O(1)
- 原因： 直接通过尾指针访问尾结点，无需遍历链表。
- 无尾指针的双链表：
- 时间复杂度：O(n)
- 原因： 需要从头遍历整个链表找到尾结点的前驱节点。
题目分析：
题目给出的正确答案是 A. O(n)，这意味着假设链表 没有维护尾指针。因此，删除尾结点需要遍历整个链表，时间复杂度为O(n)。
代码示例：
假设我们使用Python来实现双链表的删除尾结点操作。
class Node:
def __init__(self, data):
self.data = data
self.prev = None
self.next = None
class DoublyLinkedList:
def __init__(self):
self.head = None
# self.tail = None # 假设没有维护尾指针
def append(self, data):
new_node = Node(data)
if not self.head:
self.head = new_node
return
current = self.head
while current.next:
current = current.next
current.next = new_node
new_node.prev = current
def delete_tail(self):
if not self.head:
return
current = self.head
while current.next:
current = current.next
if current.prev:
current.prev.next = None
else:
self.head = None # 链表只有一个节点
# 使用示例
dll = DoublyLinkedList()
for i in range(1, 6):
dll.append(i)
dll.delete_tail()
时间复杂度分析：
- 遍历链表找到尾结点： O(n)
- 删除尾结点： O(1)
- 总时间复杂度： O(n) + O(1) = O(n)
结论：
由于假设双链表没有维护尾指针，删除尾结点需要遍历整个链表，时间复杂度为O(n)，因此选项A正确。
题目18：对 n 个不同的排序码进行冒泡排序，在元素无序的情况下比较的次数为（）。
选项：
- A. n(n-1)/2
- B. n+1
- C. n
- D. n−1
正确答案：A
详细解析：
冒泡排序简介：
冒泡排序（Bubble Sort）是一种简单的排序算法，通过重复交换相邻未按顺序排列的元素，将最大的元素“冒泡”到序列的末端。其基本步骤如下：
- 从头开始，依次比较相邻的元素。
- 如果前一个元素大于后一个元素，则交换它们。
- 重复以上过程，直到整个序列有序。
比较次数分析：
在最坏情况下（即元素完全逆序），冒泡排序需要进行最大数量的比较和交换。
- 第一趟： 比较n-1次，将最大的元素移动到最后。
- 第二趟： 比较n-2次，将第二大的元素移动到倒数第二个位置。
- ...
- 第(n-1)趟： 比较1次，将最小的元素移动到第一个位置。
因此，总的比较次数为： (n−1)+(n−2)+⋯+1=n(n−1)2(n-1) + (n-2) + \cdots + 1 = \frac{n(n-1)}{2}(n−1)+(n−2)+⋯+1=2n(n−1)
时间复杂度：
冒泡排序的时间复杂度在最坏情况下是 O(n²)，因为比较次数与n的平方成正比。
代码示例：
以下是Python中冒泡排序的实现及比较次数的统计。
def bubble_sort(arr):
n = len(arr)
comparison_count = 0
for i in range(n):
for j in range(0, n-i-1):
comparison_count += 1
if arr[j] > arr[j+1]:
arr[j], arr[j+1] = arr[j+1], arr[j]
return comparison_count
# 使用示例
arr = [5, 1, 4, 2, 8]
comparisons = bubble_sort(arr)
print(f"排序后的数组: {arr}")
print(f"比较次数: {comparisons}")
输出：
排序后的数组: [1, 2, 4, 5, 8] 比较次数: 10
对于n=5，比较次数为5*4/2 = 10，符合公式。
时间复杂度确定方法：
- 外层循环： n次
- 内层循环： 每次减少一次，共(n-1)次
- 总比较次数： n(n-1)/2 = O(n²)
结论：
在最坏情况下，冒泡排序需要进行n(n-1)/2次比较，因此选项A正确。
题目21：给定有 n 个元素向量，建立一个有序单链表的时间复杂度是（）。
选项：
- A. O(1)
- B. O(n²)
- C. O(n log₂ n)
- D. O(n)**
正确答案：D
详细解析：
建立有序单链表的过程：
-
假设输入向量已经有序：
- 时间复杂度：O(n)
- 原因： 直接遍历向量，将元素依次插入链表，无需比较。
-
输入向量无序：
- 时间复杂度：O(n log n)
- 原因： 需要先对向量进行排序，然后再构建链表。
题目分析：
题目并未明确说明输入向量是否有序。根据给定答案D. O(n)，我们假设输入向量已经有序，因此可以在O(n)时间内构建有序单链表。
代码示例：
以下是Python中将有序向量构建为单链表的实现。
class Node:
def __init__(self, data):
self.data = data
self.next = None
class SortedLinkedList:
def __init__(self):
self.head = None
def build_from_sorted_vector(self, vec):
for data in vec:
self.append(data)
def append(self, data):
new_node = Node(data)
if not self.head:
self.head = new_node
return
current = self.head
while current.next:
current = current.next
current.next = new_node
def print_list(self):
current = self.head
elems = []
while current:
elems.append(current.data)
current = current.next
print(" -> ".join(map(str, elems)))
# 使用示例
vec = [1, 2, 3, 4, 5] # 已排序
sll = SortedLinkedList()
sll.build_from_sorted_vector(vec)
sll.print_list()
输出：
1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5
时间复杂度分析：
- 构建链表： 遍历向量一次，逐个插入链表末尾，每次插入为O(1)（因为维护了尾指针）。
- 总时间复杂度： O(n)
总结表格：
| 情况 | 操作 | 时间复杂度 |
|---|---|---|
| 输入向量已排序 | 逐个插入链表末尾 | O(n) |
| 输入向量无序 | 先排序（O(n log n)）+ 构建链表（O(n)） | O(n log n) |
结论：
根据题目提供的正确答案D. O(n)，假设输入向量已经有序，因此建立一个有序单链表的时间复杂度为O(n)。
题目25：在一个具有 n 个结点的有序单链表中插入一个新结点并仍然有序的时间复杂度是（）。
选项：
- A. O(n log₂ n)
- B. O(n²)
- C. O(1)
- D. O(n)**
正确答案：D
详细解析：
有序单链表简介：
有序单链表是一种链式数据结构，其中元素按一定顺序（通常是升序或降序）排列。每个节点只有一个指向后继节点的指针。
插入新结点的操作步骤：
-
查找插入位置：
- 从头节点开始，遍历链表，找到第一个比新结点大的节点，插入到其前面。
- 如果新结点比所有现有节点都大，插入到链表末尾。
-
执行插入：
- 修改前一个节点的
next指针，使其指向新结点。 - 将新结点的
next指针指向后一个节点。
- 修改前一个节点的
时间复杂度分析：
- 查找插入位置： 最坏情况下需要遍历整个链表，时间复杂度为O(n)。
- 执行插入： 直接操作指针，时间复杂度为O(1)。
- 总时间复杂度： O(n) + O(1) = O(n)
代码示例：
以下是Python中在有序单链表中插入新结点的实现。
class Node:
def __init__(self, data):
self.data = data
self.next = None
class SortedLinkedList:
def __init__(self):
self.head = None
def insert_sorted(self, data):
new_node = Node(data)
# 如果链表为空或新节点应插在头部
if not self.head or data < self.head.data:
new_node.next = self.head
self.head = new_node
return
# 遍历链表找到插入位置
current = self.head
while current.next and current.next.data < data:
current = current.next
# 插入新节点
new_node.next = current.next
current.next = new_node
def print_list(self):
current = self.head
elems = []
while current:
elems.append(current.data)
current = current.next
print(" -> ".join(map(str, elems)))
# 使用示例
sll = SortedLinkedList()
for data in [1, 3, 5, 7]:
sll.insert_sorted(data)
sll.print_list()
sll.insert_sorted(4)
sll.print_list()
1 -> 3 -> 5 -> 7 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 7
时间复杂度确定方法：
- 查找插入位置： 最坏情况下需要遍历整个链表，O(n)。
- 指针操作： O(1)。
- 总时间复杂度： O(n)
总结表格：
| 操作类型 | 操作描述 | 时间复杂度 |
|---|---|---|
| 插入操作 | 找到插入位置并插入结点 | O(n) |
结论：
在有序单链表中插入一个新结点并保持有序的时间复杂度为O(n)，因此选项D正确。
题目56：在单链表中删除 p 所指结点的后继结点，该算法的时间复杂度是（）。
选项：
- A. O(1)
- B. O(n)
- C. O(log₂n)
- D. O(n²)
正确答案：A
详细解析：
单链表简介：
单链表（Singly Linked List）是一种链式数据结构，每个节点包含一个数据域和一个指向下一个节点的指针（next）。与双链表不同，单链表只支持单向遍历。
删除操作简介：
在单链表中删除一个节点，通常需要访问该节点的前驱节点，以便更新前驱节点的next指针指向被删除节点的后继节点。
题目具体要求：
删除节点p所指结点的后继结点。
操作步骤：
-
访问后继结点：
- 直接通过p的
next指针访问p的后继结点，即q = p.next。
- 直接通过p的
-
更新指针：
- 将p的
next指针指向q.next，即p.next = q.next。
- 将p的
-
删除结点：
- 如果需要，可以释放q的内存（在某些编程语言中，如C/C++）。
时间复杂度分析：
- 访问p和q： 由于已知p的位置，直接通过指针访问q是O(1)时间。
- 更新指针： 这也是O(1)时间。
- 删除操作： 释放内存或其他相关操作通常也是O(1)。
因此，整个删除操作的时间复杂度是 O(1)。
代码示例：
以下是Python中在单链表中删除p所指结点的后继结点的实现。
class Node:
def __init__(self, data):
self.data = data
self.next = None
class SinglyLinkedList:
def __init__(self):
self.head = None
def append(self, data):
new_node = Node(data)
if not self.head:
self.head = new_node
return
current = self.head
while current.next:
current = current.next
current.next = new_node
def delete_successor(self, p):
if p and p.next:
q = p.next
p.next = q.next
del q # Python会自动管理内存
def print_list(self):
current = self.head
elems = []
while current:
elems.append(current.data)
current = current.next
print(" -> ".join(map(str, elems)))
# 使用示例
sll = SinglyLinkedList()
for data in [1, 2, 3, 4, 5]:
sll.append(data)
sll.print_list() # 输出: 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5
# 假设p指向节点3
p = sll.head.next.next # 节点3
sll.delete_successor(p)
sll.print_list() # 输出: 1 -> 2 -> 3 -> 5
时间复杂度确定方法：
- 访问结点p及其后继结点q： O(1)
- 更新指针和删除操作： O(1)
- 总时间复杂度： O(1)
可能的误区：
有些人可能认为需要遍历链表才能找到p的前驱节点，从而导致时间复杂度为O(n)。然而，在本题中，p的位置是已知的，无需遍历链表，因此操作是常数时间的。
结论：
在单链表中删除p所指结点的后继结点的时间复杂度是O(1)，因此选项A正确。
综合总结
为了更清晰地理解各个操作的时间复杂度，我们将以下列表格进行总结，并附上相应的代码示例。
时间复杂度总结表
| 题号 | 操作描述 | 时间复杂度 | 说明 | 代码示例 |
|---|---|---|---|---|
| 15 | 删除双链表的尾结点（假设无尾指针） | O(n) | 需要遍历链表找到尾结点的前驱节点 | 见题目15代码 |
| 18 | 冒泡排序在元素完全无序情况下的比较次数 | O(n²) | 冒泡排序在最坏情况下需要进行n(n-1)/2次比较 | 见题目18代码 |
| 21 | 建立一个有序单链表（假设输入向量已排序） | O(n) | 逐个插入元素到链表末尾，时间与元素数量线性相关 | 见题目21代码 |
| 25 | 在有序单链表中插入一个新结点并保持有序 | O(n) | 需要遍历链表找到插入位置，最坏情况下遍历整个链表 | 见题目25代码 |
| 56 | 删除单链表中节点p的后继结点 | O(1) | 已知p的位置，直接通过指针操作删除后继结点，无需遍历链表 | 见题目56代码 |
如何确定时间复杂度
-
分析操作步骤：
- 分解操作步骤，确定每一步的时间复杂度。
- 考虑最坏情况下的时间复杂度。
-
识别循环和递归：
- 循环次数直接影响时间复杂度。
- 嵌套循环导致时间复杂度的乘法增加。
-
利用已知的算法复杂度：
- 如排序算法、搜索算法等的已知时间复杂度。
-
常数时间操作：
- 指针操作、赋值等通常为O(1)时间。
-
结合数据结构特性：
- 链表的遍历、插入、删除操作的时间复杂度取决于是否有辅助指针（如尾指针）或额外信息。
代码与时间复杂度结合示例
以题目25为例，我们在有序单链表中插入一个新结点：
python
复制代码
def insert_sorted(self, data): new_node = Node(data) if not self.head or data < self.head.data: new_node.next = self.head self.head = new_node return current = self.head while current.next and current.next.data < data: current = current.next new_node.next = current.next current.next = new_node
- if 语句： 最好情况下（新结点插入头部），时间复杂度为O(1)。
- while 循环： 最坏情况下需要遍历整个链表，时间复杂度为O(n)。
- 指针操作： O(1)。
因此，总时间复杂度为 O(n)。
附加说明：
链表操作时间复杂度对比
| 操作类型 | 单链表（Singly Linked List） | 双链表（Doubly Linked List） |
|---|---|---|
| 访问头结点 | O(1) | O(1) |
| 访问尾结点 | O(n)（无尾指针） O(1)（有尾指针） |
O(1) |
| 插入头结点 | O(1) | O(1) |
| 插入尾结点 | O(n)（无尾指针） O(1)（有尾指针） |
O(1) |
| 删除头结点 | O(1) | O(1) |
| 删除尾结点 | O(n) | O(1) |
| 插入任意位置 | O(n) | O(n) |
| 删除任意位置 | O(n) | O(n) |
冒泡排序时间复杂度详解
| 情况 | 时间复杂度 | 比较次数 | 交换次数 |
|---|---|---|---|
| 最好情况 | O(n) | O(n)（已经有序） | O(1)（无需交换） |
| 平均情况 | O(n²) | O(n²) | O(n²) |
| 最坏情况 | O(n²) | n(n-1)/2 = O(n²) | n(n-1)/2 = O(n²) |
注意： 冒泡排序在元素已经有序的情况下可以优化为O(n)时间复杂度，但在题目18中明确提到“元素无序”，因此比较次数为n(n-1)/2次。
总结
通过上述详细解析、代码示例以及总结表格，我们可以清晰地理解每个操作的时间复杂度及其原因。以下是关键点的回顾：
-
链表操作的时间复杂度：
- 单链表在访问尾结点时，如果没有尾指针，需要O(n)时间。
- 双链表若维护了尾指针，删除尾结点可以在O(1)时间内完成。
-
排序算法的时间复杂度：
- 冒泡排序在最坏情况下的比较次数为O(n²)。
-
构建有序链表的时间复杂度：
- 如果输入数据已经有序，建立有序单链表可以在O(n)时间内完成。
- 否则，需要先排序，时间复杂度为O(n log n)。
-
插入操作的时间复杂度：
- 在有序单链表中插入新结点的时间复杂度为O(n)，因为需要遍历找到插入位置。
-
删除操作的时间复杂度：
- 在单链表中删除已知位置的后继结点可以在O(1)时间内完成。
魔乐社区（Modelers.cn) 是一个中立、公益的人工智能社区，提供人工智能工具、模型、数据的托管、展示与应用协同服务，为人工智能开发及爱好者搭建开放的学习交流平台。社区通过理事会方式运作，由全产业链共同建设、共同运营、共同享有，推动国产AI生态繁荣发展。
更多推荐
16
0- 0
已为社区贡献10条内容
所有评论(0)