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前言

(一)矩阵的创建-Matrix()

1.说明：

Matrix(ｌｉｓｔ)，使用list来确定矩阵的维度。

２.源代码：

from sympy import *

# 一纬矩阵

m1 = Matrix([1, 2, 3])

#二维矩阵

m2 = Matrix([[1, -1], [3, 4], [0, 2]])

print(latex(m1))

print(latex(m2))

3.输出：

\[\left[\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right]

\]

\[\left[\begin{matrix}1 & -1\\3 & 4\\0 & 2\end{matrix}\right]

\]

(二)常用的构造矩阵

1.说明：

可以使用sympy自带的方法来快速的构造常用矩阵

单位矩阵：eye()

零矩阵：zeros()

一矩阵：ones()

对角矩阵：diag()

2.源代码：

from sympy import *

# 单位矩阵

m1 = eye(3)

print(latex(m1))

# 零矩阵

m2 = zeros(3, 4)

print(latex(m2))

# 一矩阵

m3 = ones(3, 4)

print(latex(m3))

# 对角矩阵

m4 = diag([1, 2, 3])

print(latex(m4))

3.输出：

单位矩阵

\[\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right]

\]

零矩阵

\[\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]

\]

一矩阵

\[\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1\end{matrix}\right]

\]

对角矩阵

\[\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 3\end{matrix}\right]

\]

(三)基本操作

1.说明：

基本操作有以下几个：

获取形状：.shape()

获得单行与单列：.row(n) .col(n)

删除行与列：row_del(n) .col_del(n)

插入新行与列：.row_insert(pos, M) .col_insert(pos, M)

对矩阵求转置：m.T

2.源代码：

from sympy import *

m = Matrix([[1, -1], [3, 4], [0, 2]])

# 矩阵

print(m)

# 获得形状

print(m.shape)

# 获得单行与单列

print(m.row(0))

print(m.col(0))

# 删除行与列

m.row_del(0)

print("删除第一行后：", m)

m.col_del(0)

print("删除第一列后：", m)

print(m)

# 插入新的行与列

m2 = Matrix([[2, 3]])

print("m2:", m2)

m2 = m2.row_insert(1, Matrix([[0, 4]]))

print("插入新行后：", m2)

m2 = m2.col_insert(2, Matrix([9, 8]))

print("插入新列后：", m2)

# 求逆矩阵

print("其逆矩阵是：", m2.T)

3.输出：

\[m = \left[\begin{matrix}1 & -1\\3 & 4\\0 & 2\end{matrix}\right]

\]

其形状是：(3， 2)

第一行是：

\[\left[\begin{matrix}1 & -1\end{matrix}\right]

\]

第一列是：

\[\left[\begin{matrix}1\\3\\0\end{matrix}\right]

\]

删除第一行后：

\[\left[\begin{matrix}3 & 4\\0 & 2\end{matrix}\right]

\]

删除第一列后：

\[\left[\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right]

\]

\[m2 = \left[\begin{matrix}2 & 3\end{matrix}\right]

\]

插入一行是：

\[\left[\begin{matrix}2 & 3\\0 & 4\end{matrix}\right]

\]

插入一列是：

\[\left[\begin{matrix}2 & 3 & 9\\0 & 4 & 8\end{matrix}\right]

\]

其转转置矩阵是：

\[\left[\begin{matrix}2 & 3 & 9\\0 & 4 & 8\end{matrix}\right]

\]

(四)矩阵的运算

1.加减法

(1)说明：

sympy里的加减法，直接使用+ -即可

(2)源代码：

from sympy import *

M = Matrix([1, 2, 3])

N = Matrix([4, 5, 6])

# 加法与减法

print("M+N:", M+N)

print("M-N:", M-N)

(3)输出效果：

\[M = \left[\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right]

\]

\[N = \left[\begin{matrix}4\\5\\6\end{matrix}\right]

\]

\[M + N =\left[\begin{matrix}5\\7\\9\end{matrix}\right]

\]

\[M - N = \left[\begin{matrix}-3\\-3\\-3\end{matrix}\right]

\]

2.乘法与求逆

(1)说明：

乘法：*

求逆矩阵：M**(-1)

(2)源代码：

from sympy import *

M = Matrix([[1, -1, 1], [2, 3, -2]])

N = Matrix([[1, 2], [2, 1], [1, 1]])

# 求乘法

print(M*N)

# 求逆矩阵

m = Matrix([[1, 3], [-2, 3]])

print(m**(-1))

(3)输出效果：

\[M = \left[\begin{matrix}1 & -1 & 1\\2 & 3 & -2\end{matrix}\right]

\]

\[N = \left[\begin{matrix}1 & 2\\2 & 1\\1 & 1\end{matrix}\right]

\]

\[M*N = \left[\begin{matrix}0 & 2\\6 & 5\end{matrix}\right]

\]

\[m = \left[\begin{matrix}1 & 3\\-2 & 3\end{matrix}\right]

\]

\[m^{-1} = \left[\begin{matrix}\frac{1}{3} & - \frac{1}{3}\\\frac{2}{9} & \frac{1}{9}\end{matrix}\right]

\]

(五)行列式

1.说明：

求行列式：M.det()

求阶梯矩阵：M.rref()

求特征值与向量：M.eignvals()

2.源代码：

from sympy import *

M = Matrix([[1, 0, 1], [2, -1, 3], [4, 3, 2]])

# 求行列式

print("行列式:", M.det())

# 求阶梯行列式

print("阶梯行列式:", M.rref())

# 求特征值与特征向量

M = Matrix([[3, -2, 4, -2], [5, 3, -3, -2], [5, -2, 2, -2], [5, -2, -3, 3]])

print("特征值与特征向量: ", M.eigenvals())

3.输出：

\[\begin{vmatrix}1 & 0 & 1\\2 & -1 & 3\\4 & 3 & 2\end{vmatrix}=1

\]

\[M = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 1\\2 & -1 & 3\\4 & 3 & 2\end{matrix}\right]

\]

M的阶梯矩阵：

\[\left ( \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right], \quad \left ( 0, \quad 1, \quad 2\right )\right )

\]

另一个M矩阵：

\[M = \left[\begin{matrix}3 & -2 & 4 & -2\\5 & 3 & -3 & -2\\5 & -2 & 2 & -2\\5 & -2 & -3 & 3\end{matrix}\right]

\]

其特征值是：

\[\left \{ -2 : 1, \quad 3 : 1, \quad 5 : 2\right \}

\]

(六)对角化矩阵

1.说明：

如果要对角化一个矩阵，用diagonalize()

2.源代码：

from sympy import *

M = Matrix([[3, -2, 4, -2], [5, 3, -3, -2], [5, -2, 2, -2], [5, -2, -3, 3]])

P, D = M.diagonalize()

print('矩阵M')

print(M)

print('矩阵P')

print(P)

print('矩阵D')

print(D)

print("P*D*P**-1")

print(P*D*P**-1)

3.输出：

\[M = \left[\begin{matrix}3 & -2 & 4 & -2\\5 & 3 & -3 & -2\\5 & -2 & 2 & -2\\5 & -2 & -3 & 3\end{matrix}\right]

\]

\[ P = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 & -1\\1 & 1 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{matrix}\right]

\]

\[D = \left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & 0\\0 & 3 & 0 & 0\\0 & 0 & 5 & 0\\0 & 0 & 0 & 5\end{matrix}\right]

\]

\(PDP^{−1}=\)

\[\left[\begin{matrix}3 & -2 & 4 & -2\\5 & 3 & -3 & -2\\5 & -2 & 2 & -2\\5 & -2 & -3 & 3\end{matrix}\right]

\]

作者：Mark

日期：2019/03/18 周一