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什么是算法？

算法是用于解决特定问题的一系列的执行步骤。

以下算法是为了解决两数相加的问题：

// 计算a和b的和
public static int plue(int a, int b){
	return a + b;
}

以下算法是为了解决 n个数字的和 的问题：

// 1+2+3+...+n
public static int sum(int n){
	int result = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		result += i;
	}
	return result;
}

使用不同算法，解决同一个问题，效率可能相差非常大。比如：

• 求第 n 个斐波那契数（fibonacci number）

如何评判一个算法的好坏？

如果单从执行效率上进行评估，可能会想到这么一种方案：

• 比较不同算法对同一组输入的执行处理时间
• 这种方案也叫做：事后统计法

上述方案有比较明显的缺点：

• 执行时间严重依赖硬件以及运行时各种不确定的环境因素
• 必须编写相应的测算代码
• 测试数据的选择比较难保证公正性

一般从以下维度来评估算法的优劣：

• 正确性、可读性、健壮性（对不合理输入的反应能力和处理能力）
• 时间复杂度（time complexity）：估算程序指令的执行次数（执行时间）
• 空间复杂度（space complexity）：估算所需占用的存储空间

由于现在硬件发展的较好，一般情况下我们更侧重于时间复杂度。

---

下面代码是一个测试时间效率的小工具：

package com.mj;

import java.text.SimpleDateFormat;
import java.util.Date;

/**
 * 测试时间效率的小工具
 */
public class Times {
	private static final SimpleDateFormat fmt = new SimpleDateFormat("HH:mm:ss.SSS");
	
	public interface Task {
		void execute();
	}
	
	public static void test(String title, Task task) {
		if (task == null) return;
		title = (title == null) ? "" : ("【" + title + "】");
		System.out.println(title);
		System.out.println("开始：" + fmt.format(new Date()));
		long begin = System.currentTimeMillis(); // 开始时间
		task.execute(); // 执行代码
		long end = System.currentTimeMillis(); // 结束时间
		System.out.println("结束：" + fmt.format(new Date()));
		double delta = (end - begin) / 1000.0; // 毫秒转换为秒
		System.out.println("耗时：" + delta + "秒");
		System.out.println("-------------------------------------");
	}
}

大O表示法（Big O）

一般用大O表示法来描述复杂度，它表示的是数据规模 n 对应的复杂度。

忽略常数、系数、低阶：

• 9 >> O(1)
• 2n + 3 >> O(n)
• n² + 2ⁿ + 6 >> O(n²)
• 4n³ + 3n² + 22n + 100 >> O(n³)
• 写法上，n³ 等价于 n^3

注意：大O表示法仅仅是一种粗略的分析模型，是一种估算，能帮助我们短时间内了解一个算法的执行效率。

对数阶的细节

对数阶一般省略底数：

• 由于 log₂⁹ ∗ log₉ⁿ >> log₂ⁿ，即每个对数基本都可以常数乘另一个对数
• 所以 O(log₂ⁿ) 、O(log₉ⁿ) 统称为 O(logⁿ)

常见的复杂度

可以借助函数生成工具对比复杂度的大小：https://zh.numberempire.com/graphingcalculator.php

多个数据规模的情况

时间复杂度：O(n + k)

public static void test(int n, int k){
	for(int i = 0; i < n; i++){
		System.out.println("test");
	}
	for (int i = 0; i < k; i++){
		System.out.println("test");
	}
}

LeetCode刷题指南

首先去 https://leetcode-cn.com/ 注册一个力扣账号。

我们以力扣上一道斐波那契的题目为例，顺便分析算法的时间复杂度。
题目网址：LeetCode: 509.斐波那契数

以执行 斐波那契数列(递归) 为例，必须写成这样：

斐波那契数列复杂度分析

斐波那契数列 - 递归

很简单的代码，相信来学数据结构的同学都能看懂。

// O(2^n)
public static int fib1(int n) {
	if (n <= 1) return n;
	return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);
}

复杂度分析：

我们放到力扣上去执行一下：效率奇差无比！

斐波那契数列 - 循环

不开辟任何空间，只使用循环完成。

// O(n)
public static int fib2(int n) {
	if (n <= 1) return n;
	
	int first = 0;
	int second = 1;
	for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
		int sum = first + second;
		first = second;
		second = sum;
	}
	/*
	// 也可以使用while循环
	while (n-- > 1) {
		second += first;
		first = second - first;
	}
	*/
	return second;
}

力扣上执行：速度变快了，内存消耗还是很多…

开辟新的数组空间，用空间换时间。

public static int fib3(int n){
	if(n <= 1) return n;
	
	int[] fib = new int[n+1];
	fib[0] = 0;
	fib[1] = 1;
	for(int i = 2; i < fib.length; i++){
		fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2];
	}
	return fib[n];
}

力扣上执行：呃，和上面好像没啥区别。。

fib函数的时间复杂度分析

上面两种 fib 函数的差别有多大？

• 如果有一台 1GHz 的普通计算机，运算速度 10⁹ 次每秒，n 为 64
• O(n) 大约耗时 6.4 $\ast$ 10^-8 秒
• O(2ⁿ) 大约耗时 584.94 年
• 有时候算法之间的差距，往往比硬件方面的差距还要大

斐波那契的线性代数解法-特征方程

算法的优化方向

• 用尽量少的存储空间
• 用尽量少的执行步骤（执行时间）
• 根据情况：空间换时间、时间换空间

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