Reference

[1] David Silver: https://www.youtube.com/watch?v=PnHCvfgC_ZA&t=2938s

在强化学习（二）中，我们学习了使用动态规划法进行策略评估。DP策略评估通过循环迭代贝尔曼期望方程直至收敛，来获得最优价值函数。

但是在model-based环境下，我们无法得知即时奖励以及状态转移概率。所以也就不能通过DP策略评估来获得最优价值函数值了。这种情况下我们可以通过大量的采样来近似模拟最优价值函数值。

1. 蒙特卡洛策略评估（Monte-Carlo Learning）

（1）定义
蒙特卡洛策略评估通过采用多条完整的轨迹，然后使用轨迹回报的经验均值来预估状态价值函数。MC只能从完整的轨迹序列中学习。

1.1 First-Visit MC

1.2 Every-Visit MC

1.3 Incremental MC

增量均值
经验均值$\frac{1}{k}{\sum }_{j=1}^k{x}_j$也可以通过增量形式表示：

因此蒙特卡洛策略评估也可以通过增量形式表示：

理解： 轨迹回报的均值$V(S_t)$可以通过采样轨迹的回报与当前均值的差值乘上学习率予以修正。

2. 时序差分策略评估（Temporal-Difference Learning）

（1）定义
时序差分法可以在不完整的序列上进行学习。TD方法通过预测对预测进行更新（updates a guess towards guess）。

相比于蒙特卡洛方法，TD(0)通过本身对下一个状态价值函数的预测和即时奖励代替了轨迹回报$G_t$。通过TD-error和学习率的成绩对价值函数的预测值进行修正。

3. 比较MC&TD(0)

（1）MC

• MC必须在完整轨迹上学习
  
• MC方法是无偏估计，但方差较高。
  ①通过计算每段完整轨迹的奖励来更新获得价值函数，相比于TD具有更多的随机性与方差。

（2）TD

• TD可以在不完整的轨迹上学习
  
• TD方法方差较低，但是有偏估计。
  ①在每一个时间步上，通过奖励以及下一状态的预估值对价值函数进行更新。
• TD相对于MC算法运行效率更高。

（3）DP

3. TD($\lambda$)

3.1 n-Step TD

TD(0)算法仅考虑了未来采取一步动作后获得的回报（1-Step）。同理我们可以考虑未来采取n步动作后能采取的回报，利用n步回报作为TD target更新价值函数。因此也就可以获得n步时序差分学习方式。

我们可以通过加权求和的方式，获得从1-n步TD-Targe的均值$G_t^{\lambda }$。

3.2 $\lambda$-return

令$\lambda \in [0,1]$，对从0-1步的TD-Target进行加权。使用加权后的均值更新价值函数的方法，也就是$TD(\lambda )$。

• 当$\lambda =0$时，也就是采用了时序差分方法TD(0)。
• 当$\lambda =1$时，也就是采用了蒙特卡洛方法MC。