前言

我们在第 1 章中了解到，强化学习关注智能体和环境交互过程中的学习，这是一种试错型学习（trial-and-error learning）范式。在正式学习强化学习之前，我们需要先了解多臂老虎机问题，它可以被看作简化版的强化学习问题。与强化学习不同，多臂老虎机不存在状态信息，只有动作和奖励，算是最简单的“和环境交互中的学习”的一种形式。多臂老虎机中的探索与利用（exploration vs. exploitation）问题一直以来都是一个特别经典的问题，理解它能够帮助我们学习强化学习。

问题介绍

问题定义

在多臂老虎机（multi-armed bandit，MAB）问题（见图）中，有一个拥有 K 根拉杆的老虎机，拉动每一根拉杆都对应一个关于奖励的概率分布 R。我们每次拉动其中一根拉杆，就可以从该拉杆对应的奖励概率分布中获得一个奖励 r。我们在各根拉杆的奖励概率分布未知的情况下，从头开始尝试，目标是在操作 T 次拉杆后获得尽可能高的累积奖励。由于奖励的概率分布是未知的，因此我们需要在“探索拉杆的获奖概率”和“根据经验选择获奖最多的拉杆”中进行权衡。“采用怎样的操作策略才能使获得的累积奖励最高”便是多臂老虎机问题。如果是你，会怎么做呢？

下面我们编写代码来实现一个拉杆数为10的多臂老虎机。其中拉动每根拉杆的奖励服从伯努利分布(Bernoulli distribution)，即每次拉下拉杆有p的概率获得的奖励为 1，有 1- p的概率获得的奖励为 0。奖励为 1代表获奖，奖励为 0代表没有获奖。

# 导入需要使用的库,其中numpy是支持数组和矩阵运算的科学计算库,而matplotlib是绘图库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


class BernoulliBandit:
    """ 伯努利多臂老虎机,输入K表示拉杆个数 """
    def __init__(self, K):
        self.probs = np.random.uniform(size=K)  # 随机生成K个0～1的数,作为拉动每根拉杆的获奖概率
        self.best_idx = np.argmax(self.probs)  # 获奖概率最大的拉杆
        self.best_prob = self.probs[self.best_idx]  # 最大的获奖概率
        self.K = K

    def step(self, k):
        # 当玩家选择了k号拉杆后,根据拉动该老虎机的k号拉杆获得奖励的概率返回1（获奖）或0（未获奖）
        if np.random.rand() < self.probs[k]:
            return 1
        else:
            return 0


np.random.seed(1)  # 设定随机种子,使实验具有可重复性
K = 10
bandit_10_arm = BernoulliBandit(K)
print("随机生成了一个%d臂伯努利老虎机" % K)
print("获奖概率最大的拉杆为%d号,其获奖概率为%.4f" %
      (bandit_10_arm.best_idx, bandit_10_arm.best_prob))

随机生成了一个10臂伯努利老虎机
获奖概率最大的拉杆为1号,其获奖概率为0.7203

接下来我们用一个 Solver 基础类来实现上述的多臂老虎机的求解方案。根据前文的算法流程，我们需要实现下列函数功能：根据策略选择动作、根据动作获取奖励、更新期望奖励估值、更新累积懊悔和计数。在下面的 MAB 算法基本框架中，我们将根据策略选择动作、根据动作获取奖励和更新期望奖励估值放在 run_one_step() 函数中，由每个继承 Solver 类的策略具体实现。而更新累积懊悔和计数则直接放在主循环 run() 中。

class Solver:
    """ 多臂老虎机算法基本框架 """
    def __init__(self, bandit):
        self.bandit = bandit
        self.counts = np.zeros(self.bandit.K)  # 每根拉杆的尝试次数
        self.regret = 0.  # 当前步的累积懊悔
        self.actions = []  # 维护一个列表,记录每一步的动作
        self.regrets = []  # 维护一个列表,记录每一步的累积懊悔

    def update_regret(self, k):
        # 计算累积懊悔并保存,k为本次动作选择的拉杆的编号
        self.regret += self.bandit.best_prob - self.bandit.probs[k]
        self.regrets.append(self.regret)

    def run_one_step(self):
        # 返回当前动作选择哪一根拉杆,由每个具体的策略实现
        raise NotImplementedError

    def run(self, num_steps):
        # 运行一定次数,num_steps为总运行次数
        for _ in range(num_steps):
            k = self.run_one_step()
            self.counts[k] += 1
            self.actions.append(k)
            self.update_regret(k)

补基础：伯努利分布

伯努利分布（Bernoulli distribution）是一种离散概率分布，用于描述只有两种可能结果的随机实验，通常称为“成功”和“失败”（或“1”和“0”）。在伯努利分布中，每次实验成功的概率是固定的，记为 ( p )，而失败的概率则是 ( 1 - p )。这种分布是二项分布的特例，当实验次数为 1 时，二项分布就退化为伯努利分布.

在多臂老虎机问题中，伯努利分布被用来模拟拉动每根拉杆的结果。每次拉动拉杆，都有一定的概率 ( p ) 获得奖励（即“成功”），概率为 ( 1 - p ) 时没有获得奖励（即“失败”）。这种模型适用于描述那些只有两种结果的随机事件，例如抛硬币、点击广告是否产生转化等场景.

当然可以！以下是一个详细的例子来说明伯努利分布的应用：

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