一、什么是二维卷积？

二维卷积（2D Convolution）是图像处理中最基础也最重要的操作之一，广泛应用于：

• 图像模糊
• 边缘检测
• 卷积神经网络（CNN）特征提取

通俗地讲：

把一个小的“滤波器”（也叫“卷积核”）放在图像上一个位置，对应区域的值和卷积核每个位置相乘后加总，结果作为输出图像的一个像素值，然后不断滑动这个核，得到整张图的新图像。

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二、卷积的操作步骤（滑动 + 乘加）

假设你有：

• 原始图像（5×5）
• 卷积核（3×3）

操作过程如下：

1. 卷积核放在图像左上角，和 3x3 区域重叠
2. 对应位置相乘，然后求和
3. 得到的结果就是输出图像对应位置的像素值
4. 卷积核向右移动一格，重复以上过程
5. 到右边边缘后，向下一行移动，从左往右继续滑动

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示例计算：

图像窗口：

1 2 3
4 5 6
7 8 9

卷积核：

1  0 -1
1  0 -1
1  0 -1

计算：

= 1×1 + 2×0 + 3×(-1)
+ 4×1 + 5×0 + 6×(-1)
+ 7×1 + 8×0 + 9×(-1)
= 1 - 3 + 4 - 6 + 7 - 9 = -6

输出图像中对应位置的值就是 -6。

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三、输出图像大小怎么计算？

若输入图像为 H × W，卷积核为 kH × kW，不加填充（padding），步幅（stride）为 1：

输出高 = H - kH + 1
输出宽 = W - kW + 1

举例：5×5 输入图像 + 3×3 卷积核 → 输出图像为 3×3。

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四、卷积与相关运算的区别（细节）

数学上的卷积会对卷积核进行 180° 翻转，但在图像处理中（尤其是 CNN）中，一般不翻转核，这种形式实际上是相关运算（correlation）。但业界仍普遍称其为“卷积”。

五、卷积能实现哪些操作？

卷积核类型	功能
均值核（全部 1）	模糊/平滑图像
Sobel 核	边缘检测
Laplacian	边缘锐化
自定义核	特征提取

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六、代码实现

from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
import cv2
import seaborn as sns
class conv_2d():
    def __init__(self, a, b):
        # 输入图像
        self.a = a
        # 卷积核
        self.b = b
        # 输入图像的坐标
        self.ax = [i for i in range(self.a.shape[0])]
        self.ay = [i for i in range(self.a.shape[1])]
        # 卷积核的坐标
        self.bx = [i for i in range(self.b.shape[0])]
        self.by = [i for i in range(self.b.shape[1])]

    def conv(self):
        # 对输入图像a和卷积核b进行数学上的卷积操作
        c = cv2.filter2D(self.a, -1, self.b)
        return c

    def plot(self):
        a = self.a
        b = self.b
        c = self.conv()
        plt.figure(figsize=(12, 4))
        # 输入图像
        plt.subplot(1, 3, 1)
        plt.title('Input')
        # 灰度图
        plt.imshow(a, cmap='gray')
        plt.axis('off')
        # 卷积核
        plt.subplot(1, 3, 2)
        plt.title('Kernel')
        sns.heatmap(b, annot=False, cmap='Greens', cbar=False)
        plt.axis('off')
        # 输出图像
        plt.subplot(1, 3, 3)
        plt.title('Output')
        plt.imshow(c, cmap='gray')
        plt.axis('off')
        plt.tight_layout()
        plt.show()
        
# 冲击信号
img = cv2.imread('lenna.jpg')  # 默认BGR格式
img = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)  # 转换为灰度
# 二维冲击卷积核
# 这个卷积核的效果是：
# 输出图像中的每个像素将是输入图像中对应位置像素的精确复制
# 实际上相当于对图像没有做任何改变（单位操作）
# 因为卷积核只在中心有1，其他都是0，相当于只取源图像对应位置的像素值
size=15
# 创建了一个15×15的全零矩阵k1
k1=np.zeros((size,size))
# 计算中间位置mid = (15-1)//2 = 7
mid=(size-1)//2
# 在中间位置设置为1
k1[mid,mid]=1
# 计算卷积并绘图
cov = conv_2d(img, k1)
cov.plot()

七、方波信号卷积

我们再来观察方波信号对图像进行卷积

# 冲击信号
img=cv2.imread('lenna.jpg',cv2.IMREAD_GRAYSCALE) # 计算机视觉最经典的一张图片Lenna
# 二维冲击卷积核
# 这个卷积核的效果是：
# 输出图像中的每个像素将是输入图像中对应位置像素的精确复制
# 实际上相当于对图像没有做任何改变（单位操作）
# 因为卷积核只在中心有1，其他都是0，相当于只取源图像对应位置的像素值
size=15
# 创建了一个15×15的全零矩阵k1
k1=np.zeros((size,size))
# 因为二维的核函数的大小是n*n的，因此在实现方波信号时我们需要除以(size*size)
k2=np.ones((size,size))/size** 2
# 计算中间位置mid = (15-1)//2 = 7
mid=(size-1)//2
# 在中间位置设置为1
k1[mid,mid]=1
# 计算卷积并绘图
# cov = conv_2d(img, k1)
cov = conv_2d(img, k2)
cov.plot()

八、总结

项目	内容说明
操作	二维卷积
输入	图像 + 卷积核
核心过程	滑动窗口 → 乘加 → 求和
输出	新图像（特征图）
实现语言	Python（手写）
实用场景	图像处理、深度学习、CNN 等