广义多视图分析方法（Generalized Multiview Analysis，GMA）是多视图学习领域的一种技术，旨在处理多个视图或来源的数据，以便在这些视图中找到潜在的共同结构。

这种方法特别适合于处理多模态数据，其中数据可以从不同的角度或通过不同的传感器获取。

GMA的一个核心思想是，虽然每个视图可能提供对数据的不同观察，但所有视图共享一个潜在的共同表示。

公式和解释

典型相关分析（CCA）的扩展

广义多视图分析方法可以看作是对典型相关分析（CCA）的扩展。CCA是一种统计方法，用于寻找两个随机变量集合之间的线性关系，最大化它们之间的相关性。对于多视图数据，GMA尝试最大化所有视图之间的相关性，而不仅仅是两两之间的。

目标函数

假设我们有 $V$ 个视图的数据，每个视图的数据集可以表示为 $X_v$，其中 $v=1,2,...,V$。
对于每个视图，我们想要找到一个投影 $W_v$ 使得投影后的数据 $Z_v=W_v^{\top }{X}_v$ 在所有视图的共同子空间中具有最大的相关性。

GMA的目标函数可以表示为：

$$\underset{W_v}{\max }\frac{{\sum }_{i\ne j}\text{tr}(W_i^{\top }{C}_{ij}{W}_j)}{{\sum }_v\text{tr}(W_v^{\top }{C}_{vv}{W}_v)}$$

其中，

• $C_{ij}$ 是视图 $i$ 和视图 $j$ 之间的互协方差矩阵。
• $C_{vv}$ 是视图 $v$ 的自协方差矩阵。
• $\text{tr}$ 表示矩阵的迹（trace），即对角元素的总和。
• $W_v$ 是第 $v$ 视图的投影矩阵，用于将该视图的数据映射到共享的低维子空间。

公式解释

• 互协方差矩阵 $C_{ij}$：衡量视图 $i$ 和视图 $j$ 之间的线性相关性。它是通过计算两个视图中相应特征的平均乘积来获得的。

• 自协方差矩阵 $C_{vv}$：描述视图 $v$ 内部特征的线性相关性。它通过计算视图 $v$ 中特征的协方差矩阵得到。

• 投影矩阵 $W_v$：用于将原始数据 $X_v$ 映射到一个低维空间。目的是找到一个空间，在这个空间中，所有视图的数据尽可能相关。

约束条件

通常，还需要一些约束条件来防止 $W_v$ 发散。常见的约束是让 $W_v$ 正交，即 $W_v^{\top }{W}_v=I$，其中 $I$ 是单位矩阵。
这样可以确保投影矩阵不会放大任何特定的特征，从而保持数据的尺度不变性。

实现

广义多视图分析方法的实现通常涉及到求解一个广义特征值问题，这可能需要数值线性代数技巧，如奇异值分解（SVD）或广义特征值分解。

GMA提供了一种强大的工具来处理多视图数据，特别是在需要融合来自不同源的信息以进行更准确的分类、聚类或预测时。

通过最大化视图之间的相关性，GMA能够揭示隐藏在多模态数据背后的潜在结构，这对于许多高级数据分析任务至关重要。