1.定义

定积分
$${\int }_a^{b}f(x)dx$$
表示函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的累积效应或面积。定积分的定义可以通过以下步骤来理解：
(步骤内容不变，此处省略)

2.几何意义

定积分
$${\int }_a^{b}f(x)dx$$
的几何意义是函数 f(x) 在区间 [a,b]上的曲线下面积。具体来说：

• 如果 f(x)≥0，则定积分表示曲线下方的面积。
• 如果 f(x)≤0，则定积分表示曲线上方的面积的负值。

3.性质

定积分具有以下重要性质：
(性质内容不变，此处省略)

4.微积分基本公式

牛顿-莱布尼茨公式
$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$
其中，F(x) 是 f(x) 的一个原函数，即 F’(x)=f(x)。
例子

1. 求
   $${\int }_0^1{x}^{2}dx$$
   解：
   $${\int }_0^1{x}^{2}dx={\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$$
2. 求
   $${\int }_{-2}^{-1}\frac{1}{x}dx$$
   解：
   $${\int }_{-2}^{-1}\frac{1}{x}dx={\left[\ln |x|\right]}_{-2}^{-1}=\ln 1-\ln 2=-\ln 2$$

5.定积分换元法

例子
求
$${\int }_0^4\frac{x+2}{\sqrt{2x+1}}dx$$
解：

1. 变量替换：
   令
   $$t=\sqrt{2x+1}$$
   则
   $$x=\frac{t^2-1}{2}$$
2. 对 x 求导数：
   $$dx=\frac{d}{dt}\left(\frac{t^2-1}{2}\right)dt=tdt$$
3. 确定新的积分上下限：
   下限：
   $$t_1=\sqrt{2\times 0+1}=1$$
   上限：
   $$t_2=\sqrt{2\times 4+1}=3$$
4. 求解新的定积分：
   $${\int }_1^3\frac{\frac{t^2-1}{2}+2}{t}tdt={\int }_1^3\left(\frac{t^2+3}{2}\right)dt={\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}{t}^3+3t\right)\right]}_1^3=\frac{22}{3}$$

步骤

1. 选择合适的变量替换：
   选择一个合适的变量替换 t=g(x)，使得积分变得更简单，并求反函数：

$$x=g^{-1}(t)=h(t)$$

2. 求导数：
   对 x 的导数

$$dx=h^{\prime }(t)dt$$

3. 替换积分变量：
   将原积分中的 x 替换为 t，并将 dx 替换为

$$h^{\prime }(t)dt$$

4. 确定新的积分上下限：
   将原积分的上下限 a 和 b 替换为新的上下限 t 的值。即 t 的下限为 t1，上限为 t2。

5. 求解新积分：
   求解新的定积分

$${\int }_{t_1}^{t_2}f(h(t))h^{\prime }(t)dt$$

例子

求
$${\int }_0^4\frac{x+2}{\sqrt{2x+1}}dx$$
解：

1.变量替换：

令
$$t=\sqrt{2x+1}$$
则
$$x=\frac{t^2-1}{2}$$
2.对x求导数：
$$dx=tdt$$
3.确定t的上下限：

下限：
$$t_1=\sqrt{0+1}=1$$
上限：
$$t_2=\sqrt{2\times 4+1}=3$$
4.求解新的定积分：
$${\int }_1^3\frac{\frac{t^2-1}{2}+2}{t}tdt={\int }_1^3\frac{t^2+3}{2}dt=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}{t}^3+3t){|}_1^3=\frac{22}{3}$$