鲁棒核典型相关分析（Robust Kernel Canonical Correlation Analysis, Robust KCCA）是经典典型相关分析（CCA）的扩展，它结合了核方法以处理非线性数据，并引入了鲁棒性以减少异常值和噪声的影响。

Robust KCCA旨在当数据集中存在异常点或者噪声时，仍能有效地发现两组数据之间的内在关联性。

经典CCA回顾

CCA是一种统计方法，用于寻找两个随机变量集合（如两个数据集）之间的线性相关性。

如果数据集为 $\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{Y}$ ，CCA的目标是找到投影向量 ${\mathbf{w}}_X$ 和 ${\mathbf{w}}_Y$ ，使得投影后的数据 $\mathbf{X}{\mathbf{w}}_X$ 和 $\mathbf{Y}{\mathbf{w}}_Y$ 的相关性最大化。

核CCA（KCCA）

核CCA通过使用核函数将数据映射到高维特征空间，从而能够处理非线性相关性。这通常通过构造核矩阵来实现，其中每个元素表示数据点之间的相似度或内积。在KCCA中，我们通常寻找最大化以下目标函数的投影向量：

$$\underset{{\mathbf{w}}_X,{\mathbf{w}}_Y}{\max }\frac{{\mathbf{w}}_X^{\top }{\mathbf{K}}_{XY}{\mathbf{w}}_Y}{\sqrt{{\mathbf{w}}_X^{\top }{\mathbf{K}}_{XX}{\mathbf{w}}_X\cdot {\mathbf{w}}_Y^{\top }{\mathbf{K}}_{YY}{\mathbf{w}}_Y}}$$

• ${\mathbf{K}}_{XX}$ 、 ${\mathbf{K}}_{YY}$ 是数据集 $\mathbf{X}$ 、$\mathbf{Y}$ 的自身核矩阵
• ${\mathbf{K}}_{XY}$ 是数据集 $\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{Y}$ 之间的交叉核矩阵。

引入鲁棒性

在Robust KCCA中，我们希望在存在噪声或异常值的情况下，仍然能够找到两个数据集之间的强相关性。

这通常通过修改目标函数来实现，以降低异常值的影响。

一种常见的方法是使用M估计器，它基于一些鲁棒损失函数（如Huber损失、Tukey损失等）来替代标准的平方损失。

Robust KCCA公式

在鲁棒KCCA中，我们通常优化以下形式的目标函数：

$$\underset{{\mathbf{w}}_X,{\mathbf{w}}_Y}{\min }\sum _{i=1}^n\rho \left(\frac{({\mathbf{w}}_X^{\top }\varphi ({\mathbf{x}}_i))({\mathbf{w}}_Y^{\top }\varphi ({\mathbf{y}}_i))-r_i}{\sigma }\right)+\lambda ({\mathbf{w}}_X^{\top }{\mathbf{K}}_{XX}{\mathbf{w}}_X+{\mathbf{w}}_Y^{\top }{\mathbf{K}}_{YY}{\mathbf{w}}_Y)$$

• $\rho (\cdot )$ 是一个鲁棒损失函数
• $\sigma$ 是尺度参数
• $\lambda$ 是正则化参数
• ${\mathbf{x}}_i$ 和 ${\mathbf{y}}_i$ 是数据集 $\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{Y}$ 中的第 $i$ 个样本
• $\varphi (\cdot )$ 是映射函数
• ${\mathbf{K}}_{XX}$ 和 ${\mathbf{K}}_{YY}$ 是相应的核矩阵
• 而 ${\mathbf{K}}_{XY}$ 未直接出现，但其信息隐含在 $\rho$ 函数中。

对公式的解释

• $\rho (\cdot )$ ：鲁棒损失函数，它相对于平方损失更能抵抗异常值的影响。
• $\sigma$ ：尺度参数，用于调整损失函数的敏感度。
• $\lambda$ ：正则化参数，用于控制模型复杂度，防止过拟合。
• ${\mathbf{w}}_X$ 和 ${\mathbf{w}}_Y$ ：投影向量，我们要优化的参数。
• $\varphi ({\mathbf{x}}_i)$ 和 $\varphi ({\mathbf{y}}_i)$ ：数据点在特征空间中的映射。
• ${\mathbf{K}}_{XX}$ 和 ${\mathbf{K}}_{YY}$ ：自身核矩阵，用于计算投影向量的正则化项。

结论

鲁棒核典型相关分析（Robust KCCA）通过在经典CCA的基础上加入核方法和鲁棒性，能够在处理非线性数据的同时，有效减少异常值和噪声对结果的影响，从而在实际应用中提供更稳定和可靠的性能。