纵向联邦学习中的逻辑回归方案

1，传统机器学习里的LR

计算：$y^{\prime }=\sigma （wx）$。w为模型；目标：输入x得到输出。

• 如何训练w：$w:=w-g,其中g=(y^{\prime }-y)x$
• 如何停止：设置迭代次数和loss收敛阈值。

2，纵向联邦里的LR

联邦学习里首先对标签{0,1}改动为{1，-1}。然后为了支持同态，对损失函数做了改动。

2.1，有第三方：

全局只有一对公私钥。第三方持有私钥，参与方持有公钥。

协作者的角色：负责解密梯度和损失，没啥了。

实现细节：

2.2，无第三方

构建一对公私钥

（该方案认为wx默认是安全的，所以没有加密）

出处：Parallel Distributed Logistic Regression for Vertical Federated Learning without Third-Party Coordinator

构建两对公私钥

具体细节：

标签持有方A和参与方B各自生成公私钥。

符号定义：u=wx，其中w表示模型参数；x表示特征数据；y表示标签数据；【*】表示同态加密后的数据。

计算公式定义：

• 双方的损失函数：$$Loss=log2-\frac{1}{2}ywx+\frac{1}{8}({wx}^2)$$

• 模型迭代公式：$w:=w-\alpha \frac{1}{m}\frac{1}{4}(wx-2y)x$，其中梯度$\nabla L=\frac{1}{4}(wx-2y)x=dx=g$

训练一轮的具体执行过程：

（和上一方案初始时随机化参与方wx相比，该方案初始直接没用数据方的wx）

其实ub=wbxb可以直接明文发送过去，我们认为它是安全的。

• A和B交换公钥；
• A计算并发送$[u_A]p{k}_A,[u_A^2]p{k}_A$；B计算并发送$[\frac{1}{4}{u}_B-\frac{1}{2}y]p{k}_B$；
• A计算并发送$[\nabla L_A+m_A]p{k}_B$；B计算并发送$[\nabla L_B+m_B]p{k}_A$，以及损失$[L]p{k}_A$；
• AB各自解密对方的梯度；然后减去各自的掩码，即可获得更新后的梯度、模型。

（注意，此时梯度已经解密，各方能够拿到自己的明文梯度。此时需要对明文梯度进行安全性分析。）

重复此过程，直到达到最大迭代次数或者模型收敛。

预测的具体执行过程：

1，模型掌握在A,B双方，比如这里假设模型询问者为A：

• A将数据分为$X^A,X^{A\prime }$,A计算$w_a{x}^A$;B计算$w_b[x^{A\prime }]$并返回；

• A解密，并计算$u=u_a+u_b$;输出结果$\frac{1}{1+e^{-}u}$。

2，模型掌握在A,B双方，询问者为第三方C：

• C将数据分为两份，并加密发送给A,B双方；
• A,B双方分别计算$w_a[x^a{]}_c、w_b[x^b{]}_c$并返回给C；
• C解密得到$u=u_a+u_b$;输出结果$\frac{1}{1+e^{-}u}$。

3，推导细节

更多推导细节，参见手稿：