集合

在这一部分, 介绍数学科学里最基础的概念——元素与集合, 其相关定义及定理. 在数学科学的学习过程中, 定义是第一关键要素, 必须在把握定义的基础上学习数学. 数学的定义是数学严谨思想最初体验, 数学是建立在基础定义及公理上进行科学研究的, 因此要求定义必须无二义性.

集合与元素基础概念

定义1-1 元素 元素是我们研究对象的最基本要素. 元素通常用小写字母$a,b,c$等来表示.

定义1-2 集合 集合是元素所构成的整体. 集合通常用大写字母$A,B,C$等来表示. 元素$a$属于集合$A$表示为 $a\in A$.

常见的集合如下:

1. $\mathbb{N}$: 自然数集.
2. $\mathbb{Z}$: 整数集
3. $\mathbb{Q}$: 有理数集
4. $\mathbb{R}$: 实数集
5. $\mathbb{C}$: 复数集

集合间关系表示为:

1. $A\subseteq B$: $A$是$B$的子集.
2. $A\subset B$: $A$是$B$的真子集.

集合是有大小的, 通过数目来表示, 集合的大小称为"势", 势的大小用一一对应来比较.

定义1-3 可数集 与自然数集能建立起一一对应关系的集合. 常见的 $\mathbb{N}$、$\mathbb{Z}$都是可数集.

定义1-4 幂集 一个集合的所有子集组成的集合称为"幂集". 集合$A$的幂集记为$2^A$, 其势为$2^{|A|}$.

定义1-5 分划 若把一个有大小顺序的数系$S$分成$A,B$两类, 满足以下性质:
(1) 不空: $A$与$B$至少包含$S$中的一个数；
(2) 不漏: 数系$S$中的每一个数, 或者属于$A$, 或者属于$B$；
(3) 不乱: $A$中的任意一个数$a$, 均小于$B$中的任意一个数$b$, 即$\forall a\in A$, $\forall b\in B$, 都有$a<b$.
则称$A$, $B$为数系$S$的一个分划, 记为$A|B$. 其中, $A$称为下类, $B$称为上类.

定义1-6 有界 对集合$A\subseteq \mathbb{R}$, 如果$\exists M\in \mathbb{R}$, s.t. $\forall a\in A$, 均有$a\le |M|$, 则称集合$A$是有界的.

定义1-7 确界 确界分为上确界和下确界, 最小的上界称为上确界, 最大的下界称为下确界.

集合与元素相关定理

定理1-1 任意一个集合不能与其幂集一一对应. .

定理1-2 不存在有理数$p/q$, 使得
$$(\frac{p}{q}{)}^2=2$$

戴德金连续性准则 如果一个有大小顺序的稠密数系$S$, 对它的人一个分划 , 都有$S$中唯一的一个数存在, 它不小于下类中的任何一个数, 也不大于上类中的每一个数, 那么称$S$是连续的.

"戴德金连续性准则"也可以叙述为: 如果对稠密数系$S$的每一个分划$A|B$, 或者$A$有最大数, $B$有最小数, 则称$S$是连续的.

定理1-3 实数基本定理 (戴德金实数连续性定理) 实数系$\mathbb{R}$按戴德金连续性准则是连续的. 即对$\mathbb{R}$的任意一个分划$A|B$, 都存在一个实数$r$, 它大于或等于下类$A$的每一个实数, 小于或等于上类$B$中的每一个实数.

定理1-4 确界原理 有上界必有上确界, 有下界必有下确界. （即有界必有确界. ）