多视图鉴别分析（Multi-View Discriminant Analysis, MVDA）是一种用于处理和分析来自不同视角或模态的数据的技术。

它特别适用于处理多模态数据集，例如，从文本、图像、视频、音频等多种来源收集的数据。

MVDA的目标是找到一个低维的公共表示，使得不同模态或视图的数据在该表示下能够更好地分离不同的类别。

MVDA的核心思想

MVDA试图在多个视图之间找到一种联合的表示，这种表示能够在不同视图间保持数据的内在结构和关系，同时增强不同类别的可分性。

在最简单的形式下，MVDA可以被视为多视图线性鉴别分析（Multi-View Linear Discriminant Analysis, MV-LDA）的推广，但更广泛的MVDA框架可以包括非线性映射和其他更复杂的模型。

公式和解释

让我们以MV-LDA为例，来探讨多视图鉴别分析的基本原理和公式。在MV-LDA中，我们考虑了两个主要矩阵：类内散度矩阵 $S_w$ 和类间散度矩阵 $S_b$。

类内散度矩阵 $S_w$

类内散度矩阵描述了同一类别内部样本的分布情况，我们希望这个矩阵越小越好，意味着同一类内的样本越接近。

$$S_w=\sum _{i=1}^V{S}_w^{(i)}$$

其中 $V$ 是视图的总数，$S_w^{(i)}$ 是第 $i$ 个视图的类内散度矩阵。

对于第 $i$ 个视图：

$$S_w^{(i)}=\sum _{c=1}^C\sum _{x_j^{(i)}\in c}(x_j^{(i)}-{\mu }_c^{(i)})(x_j^{(i)}-{\mu }_c^{(i)}{)}^T$$

• $C$ 是类别数；
• $x_j^{(i)}$ 是第 $i$ 视图中第 $j$ 个样本；
• ${\mu }_c^{(i)}$ 是第 $i$ 视图中第 $c$ 类的样本均值向量。

类间散度矩阵 $S_b$

类间散度矩阵则描述了不同类别之间的分布情况，我们希望这个矩阵越大越好，意味着不同类别的样本在低维空间中更易于区分。

$$S_b=\sum _{i=1}^V{S}_b^{(i)}$$

对于第 $i$ 个视图：

$$S_b^{(i)}=\sum _{c=1}^C{N}_c({\mu }_c^{(i)}-{\mu }^{(i)})({\mu }_c^{(i)}-{\mu }^{(i)}{)}^T$$

• $N_c$ 是第 $c$ 类的样本数；
• ${\mu }^{(i)}$ 是第 $i$ 视图的所有样本的总均值向量。

最终目标

MV-LDA的目标是找到一个投影矩阵 $W$ ，使得投影后的数据在类间差异最大化，同时类内差异最小化。这可以通过最大化下面的目标函数来实现：

$$J(W)=\frac{\text{tr}(W^T{S}_{b}W)}{\text{tr}(W^T{S}_{w}W)}$$

其中：

• $\text{tr}$ 表示矩阵的迹（即对角线元素的和）。

求解

为了求解 $W$，我们通常会构造一个拉格朗日乘子问题，然后求解广义特征值问题：

$$S_{b}W=\lambda S_{w}W$$

其中 $\lambda$ 是特征值，$W$ 是特征向量。

通过求解这个广义特征值问题，我们可以找到最佳的投影矩阵 $W$，进而得到多视图数据的低维表示。

小结

多视图鉴别分析是一种强大的工具，用于处理多模态数据，它能够有效地融合来自不同视图的信息，提高分类和识别的性能。
通过优化类内和类间散度矩阵的比例，MVDA能够找到一个能够最好地区分不同类别的投影方向。