v
向量的1-范数

$\Vert x{\Vert }_1={\sum }_{k=1}^n|{\xi }_k|$

向量的2-范数

$\Vert x{\Vert }_2=({\sum }_{k=1}^n|{\xi }_k{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}$

向量的$\infty$-范数

$\Vert x{\Vert }_{\infty }={\max }_{1\le k\le n}|{\xi }_k|$

列范数=每列模的和取最大

$\Vert A{\Vert }_1={\max }_{1\le j\le n}{\sum }_{i=1}^n|a_{ij}|$

行范数=每行模的和取最大

$\Vert A{\Vert }_{\infty }={\max }_{1\le i\le n}{\sum }_{j=1}^n|a_{ij}|$

2-范数导出的方阵A的算子范数

$\Vert A{\Vert }_2={\max }_{\Vert x{\Vert }_2=1}\Vert Ax{\Vert }_2=\sqrt{\rho (A^{H}A)}$

frobenius Form

$\Vert A{\Vert }_F=({\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n|a_{ij}{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}$

谱半径=A中最大的特征值的模

ρ(A)=max{∣λ1∣,∣λ2∣,...,∣λn∣}det(λE−A)=∣λE−A∣\rho(A)=max\{|\lambda_1|,|\lambda_2|,...,|\lambda_n|\} det(\lambda E-A)=|\lambda E-A|ρ(A)=max{∣λ1​∣,∣λ2​∣,...,∣λn​∣}det(λE−A)=∣λE−A∣

正规矩阵 酉对角化

正规矩阵

$A^{H}A=A{A}^H$

酉矩阵

$A^{H}A=A{A}^H=E$

正交矩阵，当酉矩阵中

$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$

Hermite矩阵

$A^H=A$

实对称矩阵，当Hermite矩阵中

$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$

条件数

$con{d}_{1}A=\Vert A^{-1}{\Vert }_1\Vert A{\Vert }_1$
cond2A=∥A−1∥2∥A∥2=max⁡{σ(ATA)}min⁡{σ(ATA)}cond_2A=\|A^{-1}\|_2\|A\|_2=\sqrt{\frac{\max\{\sigma(A^TA)\}}{\min\{\sigma(A^TA)\}}}cond2​A=∥A−1∥2​∥A∥2​=min{σ(ATA)}max{σ(ATA)}​ ​
$con{d}_{\infty }A=\Vert A^{-1}{\Vert }_{\infty }\Vert A{\Vert }_{\infty }$

严格对角占优

$|a_{ii}|>{\sum }_{j=1,j\ne i}^n|a_{ij}|$

Jacobi迭代，D为A对角线上元素构成的矩阵

$M_1=D^{-1}(D-A)$

Gauss-Seidel迭代，D为A对角线上元素构成的矩阵

$M_2=(D-L{)}^{-1}U$

填空题

Lagrange插值多项式

$L_n(x)={\sum }_{k=0}^n{y}_k{l}_k(x)={\sum }_{k=0}^n({\prod }_{i=0,i\ne k}^n\frac{x-x_i}{x_k-x_i})y_k$

Newton插值多项式

$N_n(x)=f[x_0]+{\sum }_{k=1}^{n}f[x_0,x_1,...,x_k]{\omega }_k(x)$

$N_3(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)$

迭代法收敛

差商

Hermite插值

一次多项式

$S_1^{\ast }=a_0^{\ast }+a_1^{\ast }x$

M=span{1,x}M=span\{1,x\}M=span{1,x}

${\phi }_0(x)=1,{\phi }_1(x)=x$

$<{\phi }_0,{\phi }_0>=\sum 1\times 1$

$<{\phi }_0,{\phi }_1>=<{\phi }_1,{\phi }_0>=\sum 1\times x_k$

$<{\phi }_1,{\phi }_1>=\sum x_k^2$

$<f,{\phi }_0>=\sum f(x_k)$

$<f,{\phi }_1>=\sum x_{k}f(x_k)$

$\left[\begin{array}{cc}<{\phi }_0,{\phi }_0>& <{\phi }_0,{\phi }_1>\\ <{\phi }_1,{\phi }_0>& <{\phi }_1,{\phi }_1>\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}<f,{\phi }_0>\\ <f,{\phi }_1>\end{array}\right]$

Euler 稳定性

$0<h\le -\frac{2}{\lambda }$

Runge-kutta 稳定性

$0<h\le -\frac{2.78}{\lambda }$

三次样条

初等变换

Smith标准型

$\lambda E-A$

Jordan标准型

初等因子组 y-1

有理标准型 自然法式

不变因子 d1(y) 求相伴矩阵

初值问题

求A的最小多项式 m(y)=dn(y)

$|\lambda E-A|$

验证相乘是否为O

$e^{At}$

根据特征值的个数与重根，设A的次数

$e^{At}=a_0(t)E+a_1(t)A+a_2(t)A^2$

$e^{\lambda t}$

$T(\lambda t)=a_0(t)+a_1(t)\lambda +a_2(t){\lambda }^2$

计算x(t),其中C为初值

$x(t)=e^{At}C$

$\det e^A=e^{trA}$

曲线拟合

最佳平方逼近 Legendre多项式

$S_3^{\ast }(x)=\frac{1}{2}<f,p_0>p_0(x)+\frac{3}{2}<f,p_1>p_1(x)+\frac{5}{2}<f,p_2>p_2(x)+\frac{7}{2}<f,p_3>p_3(x)$

$<g,p_k>={\int }_{-1}^{1}g(x)\cdot p_{k}dx$

$p_k=1,x,\frac{3x^2-1}{2},\frac{5x^3-3x}{2}$

${\delta }^2=\frac{b-a}{2}[\Vert g{\Vert }_2^2-{\sum }_{k=0}^n\frac{2k+1}{2}|<g,p_k>{|}^2]$

$\Vert g{\Vert }_2^2={\int }_{-1}^1|g(t){|}^{2}dt$

${\sum }_{k=0}^n\frac{2k+1}{2}|<g,p_k>{|}^2=\frac{1}{2}|<g,p_0>{|}^2+\frac{3}{2}|<g,p_1>{|}^2+\frac{5}{2}|<g,p_2>{|}^2+\frac{7}{2}|<g,p_3>{|}^2$

分部积分法

${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x){|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)dx$

$(u(x)v(x){)}^{\prime }=u(x)v^{\prime }(x)+u^{\prime }(x)v(x)$

Romberg算法 初始计算 迭代计算

$I={\int }_a^{b}f(x)dx$

$T_{2^0}=\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$

$T_{2^1}=\frac{T_{2^0}}{2}+\frac{b-a}{2^1}[f(\frac{a+b}{2})]$

$T_{2^2}=\frac{T_{2^1}}{2}+\frac{b-a}{2^2}[f(\frac{1}{4}(a+b))+f(\frac{3}{4}(a+b))]$

$T_{2^3}=\frac{T_{2^2}}{2}+\frac{b-a}{2^3}[f(\frac{1}{8}(a+b))+f(\frac{3}{8}(a+b))+f(\frac{5}{8}(a+b))+f(\frac{7}{8}(a+b))]$

$S_{2^0}=\frac{4T_{2^1}-T_{2^0}}{4-1},S_{2^1}=\frac{4T_{2^2}-T_{2^1}}{4-1},S_{2^2}=\frac{4T_{2^3}-T_{2^2}}{4-1}$

$C_{2^0}=\frac{4^2{S}_{2^1}-S_{2^0}}{4^2-1},C_{2^1}=\frac{4^2{S}_{2^2}-S_{2^1}}{4^2-1}$

$R_{2^0}=\frac{4^3{C}_{2^1}-C_{2^0}}{4^3-1}$

Runge-Kutta法

$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=z\\ z^{\prime }=(1+x^2)y+1\\ y(0)=1,z(0)=3\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{y}_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\\ z_{n+1}=z_n+\frac{h}{6}(l_1+2l_2+2l_3+l_4)\\ k_1=z_n,l_1=(1+x_n^2)y_n+1\\ k_2=z_n+\frac{h}{2}{l}_1,l_2=(1+(x_n+\frac{h}{2}{)}^2)(y_n+\frac{h}{2}{k}_1)+1\\ k_3=z_n+\frac{h}{2}{l}_2,l_3=(1+(x_n+\frac{h}{2}{)}^2)(y_n+\frac{h}{2}{k}_2)+1\\ k_4=z_n+h{l}_3,l_4=(1+(x_n+h{)}^2)(y_n+h{k}_3)+1\\ y_0=1,z_0=3\end{array}(n=0,1,2,...,N-1)$

证明题

参考文献

工程数学基础教程