核广义典型相关分析（Kernel Generalized Canonical Correlation Analysis, KGCCA）是一种用于多视图数据的分析方法，它结合了核方法（Kernel Methods）和广义典型相关分析（Generalized Canonical Correlation Analysis, GCCA）的优点。

KGCCA主要用于分析多个数据集之间的关系，尤其是当这些数据集是从同一对象的不同视角获取时。

通过使用核函数，KGCCA能够在高维甚至无限维的空间中执行线性CCA，从而捕捉到数据的非线性结构。

基本概念

在传统的CCA中，目标是找到两个数据集 $\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{Y}$ 之间的线性组合，使得这两个组合之间的相关性最大化。

GCCA是CCA的扩展，可以处理多个数据集的情况，而KGCCA进一步扩展了GCCA，使其能够处理非线性关系。

公式

假设我们有 $m$ 个视图的数据集 ${\mathbf{X}}_1,{\mathbf{X}}_2,\dots ,{\mathbf{X}}_m$ ，其中每个数据集都包含相同的样本，但可能有不同的特征表示。

KGCCA的目标是找到一系列投影 ${\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,\dots ,{\mathbf{w}}_m$ ，使得每个数据集投影到一个共享的低维空间中，从而最大化这些投影之间的相关性。

最大化相关性的公式

在KGCCA中，我们尝试最大化以下表达式：

$$\underset{{\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,\dots ,{\mathbf{w}}_m}{\max }\sum _{i<j}^m{\rho }_{ij}$$

其中，

$${\rho }_{ij}=\frac{{\mathbf{w}}_i^{\top }{\mathbf{K}}_{ij}{\mathbf{w}}_j}{\sqrt{{\mathbf{w}}_i^{\top }{\mathbf{K}}_{ii}{\mathbf{w}}_i\cdot {\mathbf{w}}_j^{\top }{\mathbf{K}}_{jj}{\mathbf{w}}_j}}$$

• ${\rho }_{ij}$ 表示第 $i$ 个视图和第 $j$ 个视图投影之后的典型相关性系数。
• ${\mathbf{K}}_{ij}$ 是 ${\mathbf{X}}_i$ 和 ${\mathbf{X}}_j$ 之间的交叉核矩阵
• ${\mathbf{K}}_{ii}$ 和 ${\mathbf{K}}_{jj}$ 分别是 ${\mathbf{X}}_i$ 和 ${\mathbf{X}}_j$ 自身的核矩阵。
• 这些核矩阵是由核函数 $k(\cdot ,\cdot )$ 生成的，它将原始数据映射到高维空间，使得在该空间中的线性运算相当于原始空间中的非线性运算。

解决方案

为了找到最佳的投影 ${\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,\dots ,{\mathbf{w}}_m$ ，KGCCA通过求解一个广义特征值问题来实现。
具体而言，它寻找 ${\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,\dots ,{\mathbf{w}}_m$ 使得下面的广义特征值问题成立：

$$\begin{gathered} {\mathbf{K}}_{11}{\mathbf{w}}_1+{\mathbf{K}}_{12}{\mathbf{w}}_2+\cdots +{\mathbf{K}}_{1m}{\mathbf{w}}_m=\lambda {\mathbf{K}}_{11}{\mathbf{w}}_1 \\ {\mathbf{K}}_{21}{\mathbf{w}}_1+{\mathbf{K}}_{22}{\mathbf{w}}_2+\cdots +{\mathbf{K}}_{2m}{\mathbf{w}}_m=\lambda {\mathbf{K}}_{22}{\mathbf{w}}_2 \\ ⋮ \\ {\mathbf{K}}_{m1}{\mathbf{w}}_1+{\mathbf{K}}_{m2}{\mathbf{w}}_2+\cdots +{\mathbf{K}}_{mm}{\mathbf{w}}_m=\lambda {\mathbf{K}}_{mm}{\mathbf{w}}_m \end{gathered}$$
其中

• $\lambda$ 是特征值
• ${\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,\dots ,{\mathbf{w}}_m$ 是相应的特征向量，它们定义了数据集 ${\mathbf{X}}_1,{\mathbf{X}}_2,\dots ,{\mathbf{X}}_m$ 的投影方向。

总结

KGCCA通过在高维特征空间中执行CCA来寻找多个数据集之间的非线性关系。它使用核函数来避免直接在高维空间中操作数据，这不仅减少了计算成本，还使得分析能够捕捉到更复杂的模式。