运用递归的方法求解对称三对角矩阵的特征值

问题

求解如下的对称三对角矩阵的特征值

我们在求解过程中，发现有如下的递推关系

于是我想到了运用matlab中的sym变量并用递归的方法把特征多项式表达出来，然后求解。

递归函数

首先我们定义这样一个函数，理解不畅可以参考斐波那契数列的递归求解

function y = recurMatrix( n )
%recurMatrix 运用递归的方法求解对称三对角矩阵特征值
%   n：size of the matrix,n>0 and is int
%   y：特征多项式
syms y lambda;
if n == 1
    y = lambda-2;
elseif n==2
    y = (lambda-2)^2-2;
else 
    y = (lambda-2)*recurMatrix(n-1) - recurMatrix(n-2);
end

然后我们可以输入任意的n，运用solve函数进行求解

效果

结果出来的是分数表达式如果想要具体的数值，可以使用eval/double

写在最后

当然了，我所解决的问题依旧是矩阵规模较小的情况，而且矩阵具有比较强的特殊性。

这个问题可以当成训练递归思想的一个例子，但在实际问题中，如果真的求解一般矩阵的特征值，那还得是诸如QR方法之类的比较常见的，成熟的方法