考研数学基础 之线性代数通法——Chapter6:合同对角化与二次型

2022考研数学基础
主讲老师: 刘金峰 武忠祥

对称矩阵的对角化

考研范围内只考察实对称矩阵
以下内容所表述的对象均为实对称矩阵

性质

• 对称矩阵的特征值为实数
• 不同特征值对应的特征向量正交 (垂直,且表达的向量空间不同)

抽象实对称矩阵求特征向量

这三种属于简单题型,自己理解尝试写一下通法

必考考点

这种属于考点

$已知A{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1,且{\lambda }_1\ne {\lambda }_2={\lambda }_3,求{\alpha }_2,{\alpha }_3$

• 解法
  ${\alpha }_1^T{\alpha }_{2,3}=0$ 解出 ${\alpha }_2与{\alpha }_3$
  
  因为${\lambda }_2={\lambda }_3$, 所以${\alpha }_2,{\alpha }_3$在同一个向量空间中,
  $k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3$可以表示该向量空间中的任何向量
  所以可以找到两个${\alpha }_2,{\alpha }_3$使得他们正交(这是为了后面的合同对角化准备的)

正交矩阵与合同对角化

正交矩阵的定义

$$Q^{T}Q=E或Q{Q}^T=E$$

合同对角化

以三阶对角阵为例

• step1: 求特征值

• step2: 求三个正交的特征向量

  • 若三个$\lambda$相等,则特征向量两两正交
  • 若仅有两个$\lambda 相等$则可以使用施密特正交化公式将特征向量正交化
    
  • 推荐在计算特征向量的时候直接取值得到正交的矩阵

• step3: 特征向量单位化得到 $({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3)$

• step4: $$Q=({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3),则Q为正交矩阵,且Q^{T}AQ=\Lambda$$
  $$其中\Lambda 以A的特征值为对角元$$

二次型及其标准型

二次型对应数一中的曲线方程, 其几何意义可以用来判断曲线的形状
例如
$$x^2+y^2+z^2=1代表球面(全正)$$
$$x^2+2y^2+3z^2=1代表椭球面(全正)$$
$$x^2+y^2-2z^2=1代表单叶双曲面(一个负号)$$
注: $x^2+y^2-2z^2=1看作y^2-2z^2绕z轴旋转得到$
$$x^2-y^2-z^2=1代表双叶双曲面(两个负号)$$
注: $x^2-y^2-z^2=1看作x^2-y^2=1绕x轴旋转得到$

不难发现, 上面的例子都是只含平方项的式子,因此比较好判断,但是对于一般的式子,如

显然不能看正负号来判断其曲面的形状
因此对应到线性代数中这个式子被称为二次型
化成只剩平方项之后的形式被称为标准形

标准型才是我们需要的结果,可以通过其平方项的正负轻松的判断出曲线的形状

系数矩阵

证明见笔记

二次型转为标准形步骤(正交变换法)

• 写出系数矩阵A
• 求A的特征值
• 求A的特征向量(然后正交化+单位化)
• $Q=({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3),x=Qy的变换下得到二次型的标准形:$
  $$f={\lambda }_1\ast y_1^2+{\lambda }_2\ast y_2^2+{\lambda }_3\ast y_3^2$$
  注:: 这样变换可以保证x与y是可逆变换, 因为 Q 可逆, 因此 最后得到的结果可以变换回 x 的方程
  所以他们的形状相同

二次型转为标准形步骤(配方法)

需要注意所使用的的变化矩阵需要可逆

变换矩阵必须可逆
注: 上图中圈起来的 $y_3$因为在原二次型方程中没有对应的平方项,所以在换元的时候,原则上是可以随便写的,为了方便起见,这里就写了个$x_3$

二次型转的标准形转换为规范形

规范形在二次型的基础上将系数都变成了 $1,-1,0$

二次型转的正定性

了解一下就可以了

判断二次型的正定性方法

可以化成标准型/计算特征值来判断

不过做题也多用下面这种


证明见笔记,自己想一遍

判断二次型的正定性步骤

• 写出系数矩阵
• 依次判断 1,2,3…阶行列式的正负
  

一道含坑的题目(考察正定性与转换矩阵可逆的条件)

标准的错误,经典的零分 答法

然后再 $f=y_1^2+y_2^2+y_3^2,所以是正定矩阵$
这种解法是标准的错误,经典的零分, 没有理解转换矩阵可逆的条件, 这里我们写出转换矩阵y=Qx, 虽然f(y)的方程是正定的,但是因为Q不可逆,所以这里的 y 不能通过可逆变换变成x, 所以它与原先的方程不等价。
正确做法, 将方程展开,使用通法求解,可以自己算一下,方法如例题,答案是非正定矩阵