#学习资料《MATLAB高等光学仿真（第3版）》、《MATLAB辅助激光光学 分析与应用》

一、高斯光束的负参数表示

1、高斯光束的束腰宽度，表达式：

；

其中，为瑞利距离（束腰光斑面积除以波长）即光斑面积等于二倍束腰光斑面积的距离。其物理意义为：当时，光斑半径。在实际中常取的范围作为高斯光束的准直范围，在这段长度内，高斯光束可以近似认为时平行的。所以瑞利长度越长，就意味着高斯光束的准直范围越大，反之亦然。

2、高斯光束的等相面曲率半径，表达式：

；

3、高斯光束由曲率半径R(z)、束腰宽度w(z)和光束位置z中的任意两个即可确定，因此可用复参数q将上述的3个量联系起来，能更简单的描述高斯光束的传输和变换。定义高斯光束复参数q：

；

式中，为高斯光束的光束质量因子，对基模高斯光束值为1。

用复参数q可以亥姆霍兹方程的特解简洁地表示为：

这样的高斯光束可由复参数q确定。当q已知时，、可按下式求出：

其中，Re表示复数取实部；Im表示复数取虚部运算。一般情况下，我们比较关心的是高斯光束在传输与变换过程中的光束尺寸的变化情况，尤其是在聚焦条件下，可以得到多小的聚焦光斑直径，从而计算它的功率密度并分析它的准直距离（焦深或瑞利长度）。

二、高斯光束的ABCD定律

接下来的问题，就是如何确定光学系统的传输矩阵。

高斯光束复参数q通过变换矩阵的光学系统的变化遵守ABCD定律：

，或 ；

如果复参数为q的高斯光束顺次通过变换矩阵为

的光学系统后变为复参数为q的高斯光束，利用矩阵乘法易证，此时ABCD定律亦成立，但其中ABCD为下面矩阵M诸元：

即：

 

三、常用的简单光学系统ABCD矩阵

1、自由均匀介质中的传输矩阵

L是传输距离，n为介质的折射率。当在空气中传输时，取n=1。将传输矩阵编写为函数，方便再后续编程中调用。程序如下：

%用于产生一个长度为L的自由传输空间矩阵
function matrix=space(L,n);
if nargin<2
n=1;
end
matrix=[1,L/n;0,1];

2、薄透镜的传输矩阵

matlab程序如下：

%用于产生一个焦距为f的透镜
function matrix=lens(f)
matrix=[1,0;-1./f,1];

3、反射镜的传输矩阵

R为反射镜的曲率半径。另外，在折叠发射结构中，子午面和弧矢面的时间曲率半径不同，则上述矩阵需要修正为：

弧矢面：   子午面：

matlab程序如下：

%用于产生一个曲率半径为R的反射镜，R>0为凹面镜。
function matrix=mirror(R)
matrix=[1,0;-2./R,1];

%有倾斜角
%theta为反射镜的倾斜角，s标注子午面和弧矢面，默认为子午面；
%s=1为子午面，s=2为弧矢面；
function matrix=mirror(R,theta,s)
if nargin<3
s=1;
end
if nargin<2
theta=0;
end
if s==1
matrix=[1,0;-2./R./cos(theta),1];
elseif s==2
matrix=[1,0;-2./R.*cos(theta),1];
else
error('子午面和弧矢面光束用1和2区分，例如mirror(R,theta,1).');
end

4、梯度折射率介质的传输矩阵

式中，为自聚焦透镜常数，为轴上折射率，L为传输长度。此式可以用来描述自聚焦透镜（Grin Lens），也可以用来描述棒状的热透镜介质，常数可以通过公式来求解。matlab程序如下：

%用于产生一个自聚焦透镜阵列。
%L为自聚焦透镜的长度，fconst为自聚焦透镜常数sqrt(A),ns为轴上折射率
function matrix=glens(L,fconst,ns)
if nargin<3
ns=1.5;
elseif nargin<2
fconst=0.5;
end
matrix=[cos(fconst.*L),sin(fconst.*L)./ns/fconst;-ns.*fconst.*sin(fconst.*L),cos(fconst.*L)];

5、球面介质表面的传输矩阵

式中，R为球面曲率半径，n1为入射介质折射率，n2为出射介质折射率。matlab程序如下：

%用于产生球形介质表面投射变换矩阵
function M=rsphere(R,n1,n2)
M=[1,0;(n2-n1)/n2/R,n1/n2];

上述程序，在后续传输仿真中都需要调用。