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复数与复变函数基础

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复数及其代数运算

复数的定义

对于任意两实数x,y，称z=x+jy为复数，其中x和y分别称为z的实部和虚部，记作
$$x=\text{Re}\left(z\right),y=\text{Im}\left(z\right)$$
当x=0时，z=jy称为纯虚数；当y=0时，z=x+0j,这时z就是实数。

复数四则运算规律

• 加法交换律         $z_1+z_2=z_2+z_1$
• 乘法交换律          $z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1$
• 加法结合律       $z_1+\left(z_2+z_3\right)=\left(z_1+z_2\right)+z_3$
• 乘法结合律       $z_1\left(z_2\cdot z_3\right)=\left(z_1\cdot z_2\right)z_3$
• 乘法对于加法的分配率    $z_1\left(z_2+z_3\right)=z_1{z}_2+z_1{z}_3$

共轭复数的运算

• $\overline{\overline{z}}=z$
• $\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
• $\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\overline{z_2}$
• $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\left(z_2\ne 0\right)$
• $z\overline{z}={\left[\text{Re}z\right]}^2+{\left[\text{Im}z\right]}^2$
• $\text{Re}z=\frac{z+\overline{z}}{2},\text{Im}z=\frac{z-\overline{z}}{2j}$
• $z=\overline{z}⟺z\text{为实数}$

复数的表示

几何表示法

 x轴称为实轴，y轴称为虚轴，两轴所在的平面称为复平面或z平面，这样复数与复平面上的点一一对应。

向量表示法或极坐标表示法

 向量的长度称为z的模或绝对值，记作
$$\left|z\right|=r=\sqrt{x^2+y^2}$$
 向量与x轴的夹角θ称为z的辐角，记作
$$\theta =\arctan \frac{y}{x}\text{或 }Argz=\theta$$

复数的三角表示和指数表示

 复数的直角坐标与极坐标的关系如下
$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$
 复数z可以表示为
$$z=r\left(\cos \theta +j\sin \theta \right)$$
该式称为复数的三角表示法。
 再利用欧拉公式$e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$，可得
$$z=r{e}^{j\theta }=\left|z\right|e^{j\theta }$$
这种形式成为复数的指数表示法。
 那么，有定理一
$$z_1\cdot z_2=r_1\cdot r_2{e}^{j\left({\theta }_1+{\theta }_2\right)}$$
 定理二
$$\frac{z_2}{z_1}=\frac{r_2}{r_1}{e}^{j\left({\theta }_2-{\theta }_1\right)}$$

复数的乘幂与方根

 n个相同复数z的乘积为z的n次幂，记作$z^n$。对于任何正整数n，有
$$z^n=r^n\left(\cos n\theta +j\sin n\theta \right)$$
如果定义$z^{-n}=1/z^n$，那么当n为负数时，上式仍成立。
 当z的模$r=1$，即$z=\cos \theta +j\sin \theta$
$${\left(\cos \theta +j\sin \theta \right)}^n=\cos n\theta +j\sin n\theta$$
上式即为著名的棣莫弗公式。

例如：
$$\cos 3\theta +j\sin 3\theta ={\left(\cos \theta +j\sin \theta \right)}^3={\cos }^3\theta +3j{\cos }^2\theta \sin \theta -3\cos \theta {\sin }^2\theta -j{\sin }^3\theta$$
 利用 ${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$，得
$$\cos 3\theta ={\cos }^3\theta -3\cos \theta {\sin }^2\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$$
$$\sin 3\theta =3{\cos }^2\theta \sin \theta -{\sin }^3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$$
关于复数的求根问题 $w^n=z$
$$w=\sqrt[n]{z}=r^{1/n}\left(\cos \frac{\theta +2k\pi }{n}+j\sin \frac{\theta +2k\pi }{n}\right)$$
 从几何上看，$\sqrt[n]{z}$的n个值就是以原点为中心，$r^{1/n}$为半径的圆的内接正$n$边形的$n$个顶点。

复变函数与映射定理

 设$G$是一个复数$z=x+jy$的集合，如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合$G$中的每一个复数$z$，就有一个或几个复数$w=u+ju$与之对应，那么称复变函数$w$是复变数$z$的函数简称复变函数，记作
$$w=f(z)$$
 如果用$z$平面上的点表示自变量$z$的值，而用另一个平面$w$平面上的点表示函数$w$的值，那么函数$w=f(z)$在几何上就可以看作是把$z$平面上的一个点集$G$(定义集合)变到$w$平面上的一个点集$G^{\ast }$(函数值集合)的映射(或变换)。
 这个映射通常简称为由函数$w=f(z)$所构成的映射。
 如果$G$中的点$z$被映射$w=f(z)$映射成$G^{\ast }$中的点$w$，那么$w$称为$z$的象(映像)，而$z$称为$w$的原象。

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连续系统时域分析

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典型的控制信号

1. 直流信号 $f(t)=A(-\infty <t<\infty )$
2. 正弦信号 $f(t)=K\sin (\omega t+\theta )$
3. 单位阶跃信号 $\epsilon (t)=\{\begin{array}{c}1\text{，}t>0\\ 0\text{，}t<0\end{array}$
4. 矩形脉冲信号 $g_{\tau }\left(t\right)=\{\begin{array}{c}1\text{，}\left|t\right|<\frac{\tau }{2}\\ 0\text{，}\left|t\right|>\frac{\tau }{2}\end{array}$
   $$g_{\tau }\left(t\right)=\epsilon \left(t+\frac{\tau }{2}\right)-\epsilon \left(t-\frac{\tau }{2}\right)$$
5. 斜波信号 $r(t)=t\epsilon (t)$
6. 符号函数 $sgn(t)=\{\begin{array}{c}1\text{，}t>0\\ -1\text{，}t<0\end{array}$
   $$\epsilon \left(t\right)=\frac{1}{2}\left[sgn\left(t\right)+1\right]$$
7. 实指数信号 $f(t)=K{e}^{-at}$
8. 复指数信号 $f(t)=K{e}^{st}=K{e}^{at+j\omega t}=K{e}^{at}(cos\omega t+jsin\omega t)$
   $$e^{j\omega t}=\cos \omega t+j\sin \omega t$$$$e^{-j\omega t}=\cos \omega t-j\sin \omega t$$从而有
   $$\sin \omega t=\frac{1}{2j}\left(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}\right)$$$$\cos \omega t=\frac{1}{2}\left(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}\right)$$
9. 采样函数 $Sa\left(t\right)=\frac{sint}{t}$

• $Sa(t)$为偶函数，因为它是$\frac{1}{t}$和$sint$两奇函数的乘积
• 当$t=0$时，$Sa\left(0\right)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{sint}{t}=1$，且为最大值
• 曲线呈衰减振荡，从$-\pi$到$\pi$的“主瓣”宽度为$2\pi$,当$t=\pm \pi \text{，}\pm 2\pi \text{，}\cdot \cdot \cdot$时$Sa(t)=0$
• ${\int }_0^{\infty }Sa\left(t\right)dt=\frac{\pi }{2}\text{，}{\int }_{-\infty }^{\infty }Sa\left(t\right)dt=\pi$。有时会用到函数$sinc(t)$，其定义为$sinc(t)=\frac{sin\pi t}{\pi t}=Sa(\pi t)$。

10. 单位冲激信号 $\delta (t)$

信号的基本运算

1. 信号相加与相乘：两个信号相加（相乘）可得到一个新的信号，它在任意时刻的值等于两个信号在该时刻的值之和（积）。
2. 信号反转（褶）：信号的反转（或反褶）是将信号$f(t)$的自变量$t$换为$-t$，可得到另一个信号$f(-t)$。
3. 信号延时：将信号$f(t)$的自变量$t$换为$t\pm t_0$，$t_0$为正实数，则可得到另一个信号$f(t\pm t_0)$ 。
4. 尺度变换：将信号$f(t)$的自变量$t$换为$at$,$a$为正实常数，则信号$f(at)$将在时间尺度上压缩或扩展。
5. 微分运算
   $$y\left(t\right)=\frac{df\left(t\right)}{dt}=f^{{}^{\prime }}\left(t\right)=f^{\left(1\right)}\left(t\right)$$
6. 积分运算
   $$y\left(t\right)={\int }_{-\infty }^{t}f\left(\tau \right)d\tau =f^{\left(-1\right)}\left(t\right)$$

常系数线性方程组

对于线性时不变（LTI）控制系统来说，描述这类系统输入-输出特性关系，常用的数学模型是常系数线性微分方程。
 对于n阶微分方程
$$a_n{y}^{\left(n\right)}\left(t\right)+a_{n-1}{y}^{\left(n-1\right)}\left(t\right)+\cdot \cdot \cdot +a_1{y}^{{}^{\prime }}\left(t\right)+a_{0}y\left(t\right)=b_m{f}^{\left(m\right)}\left(t\right)+b_{m-1}{f}^{\left(m-1\right)}\left(t\right)+\cdot \cdot \cdot +b_1{f}^{{}^{\prime }}\left(t\right)+b_{0}f\left(t\right)$$
此方程的完全解由齐次解和特解两部分组成。

零输入响应和零状态响应

系统时域响应是指在典型输入信号作用下，系统的输出量或信号。在时域经典法求解系统的完全响应时，一个广泛应用的分解是把响应分为零输入响应（Zero-Input Response，ZIR）和零状态响应（Zero-State Response，ZSR）两部分，即
$$y\left(t\right)=y_{zi}\left(t\right)+y_{zs}\left(t\right)$$

单位阶跃信号和单位冲击信号

单位阶跃信号和单位冲击信号是两个重要的信号，它们的关系为
$$\delta \left(t\right)=\frac{d\epsilon \left(t\right)}{dt}$$$$\epsilon \left(t\right)={\int }_{-\infty }^t\delta \left(\tau \right)d\tau$$
 线性时不变系统的单位冲激响应，是指系统初始状态为零，激励为单位冲激信号作用下的响应，简称冲激响应，用$h(t)$表示。由单位阶跃信号引起的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为$s(t)$。
 单位冲激响应和单位阶跃响应的关系为
$$h\left(t\right)=\frac{ds\left(t\right)}{dt}$$$$s\left(t\right)={\int }_{-\infty }^{t}h\left(\tau \right)d\tau$$

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连续系统频域分析的工程数学基础

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$$e^{j\omega t}=\cos \omega t+j\sin \omega t$$$$e^{-j\omega t}=\cos \omega t-j\sin \omega t$$
$$\sin \omega t=\frac{1}{2j}\left(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}\right)$$$$\cos \omega t=\frac{1}{2}\left(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}\right)$$

傅里叶级数

 一个以T为周期的函数$f_T(t)$，如果在$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$上满足狄利克雷条件（即函数在$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$上满足：①连续或只有有限个第一类间断点；②只有有限个极值点），那么在$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$上就可以展开成傅里叶级数。
$$f\left(t\right)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos n{\omega }_{1}t+b_n\sin n{\omega }_{1}t\right)$$
 式中，${\omega }_1=\frac{2\pi }{2}$称为$f(t)$的基波角频率，$n{\omega }_1$称为$n$次谐波的频率；$a_0$为$f(t)$的直流分量，$a_n$和$b_n$分别为各余弦分量和正弦分量的幅度。

由级数理论可知，傅里叶级数
$$a_0=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f\left(t\right)dt$$$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f\left(t\right)\cos n{\omega }_{1}tdt\left(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot \right)$$$$b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f\left(t\right)\sin n{\omega }_{1}tdt\left(n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot \right)$$

 显然，当$f(t)$给定后，$a_0,a_n$和$b_n$可以确定，因而$f(t)$的傅里叶级数展开式可写出。上式即为三角函数式的傅里叶级数。

因为
$$a_n\cos n{\omega }_{1}t+b_n\sin {\omega }_{1}t=A_n\cos \left(n{\omega }_{1}t+{\phi }_n\right)$$$$A_n^2=a_n^2+b_n^2{\phi }_n=-\arctan \left(\frac{b_n}{a_n}\right)$$
故三角函数式的傅里叶级数也可表示成
$$f\left(t\right)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n\cos \left(n{\omega }_{1}t+{\phi }_n\right)$$
下面介绍傅里叶级数的另一种形式——复指数表示形式。
对于周期函数的三角级数表达式，利用欧拉公式，可进一步表示为
$$f\left(t\right)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\frac{e^{jn{\omega }_{1}t}+e^{-jn{\omega }_{1}t}}{2}+b_n\frac{e^{jn{\omega }_{1}t}-e^{-jn{\omega }_{1}t}}{2j}\right)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{a_n-j{b}_n}{2}{e}^{jn{\omega }_{1}t}+\frac{a_n+j{b}_n}{2}{e}^{-jn{\omega }_{1}t}\right)$$
令
$$F_0=a_0\text{，}{F}_n=\frac{1}{2}\left(a_n-j{b}_n\right)\left(n\ne 0\right)$$
由三角函数式的傅里叶级数可知$a_n=a_{-n}，b_n=-b_{-n}$，因而有
$$F_{-n}=\frac{1}{2}(a_{-n}-j{b}_{-n})=\frac{1}{2}(a_n+j{b}_n)$$
那么将$F_n，F_{-n}$带入上式得到
$$f\left(t\right)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(F_n{e}^{jn{\omega }_{1}t}+F_{-n}{e}^{-jn{\omega }_{1}t}\right)$$
即
$$f\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn{\omega }_{1}t}$$
式中，$F_0=a_0$，上式即为$f(t)$的复指数级数形式。不过，式中的负频率只是一种数学表示，并无实际意义。系数$F_n$通常是一复数，其求法推导如下：
$$F_n=\frac{1}{2}\left(a_n-j{b}_n\right)=\frac{1}{2}\left\{\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\left[f\left(t\right)\cos n{\omega }_{1}t-jf\left(t\right)\sin n{\omega }_{1}t\right]dt\right\}$$$$=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f\left(t\right)\left(\cos n{\omega }_{1}t-j\sin n{\omega }_{1}t\right)dt=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f\left(t\right)e^{-jn{\omega }_{1}t}dt$$
上式表明，只要给定周期函数$f(t)$，则$F_n$可以在一个周期内积分确定，继而可写出复指数形式的傅里叶级数。那么上面两式是表示周期函数的一对重要关系。
 $F_n$为各次谐波$n{\omega }_1$的函数，可表示为
$$F_n=\left|F_n\right|e^{j{\phi }_n}$$
$|F_n|$称为各次谐波的幅度，${\phi }_n$称为各次谐波的相位。

傅里叶变换

1. 傅里叶变换是一种线性积分变换。傅里叶变换对为
   $$f\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F\left(\omega \right)e^{j\omega t}\text{d}\omega$$$$F\left(\omega \right)={\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)e^{-j\omega t}dt$$
   对于周期函数上述的一对关系
   $$f\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn{\omega }_{1}t}$$$$F_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f\left(t\right)e^{-jn{\omega }_{1}t}dt$$
   $F_n$为离散值$n{\omega }_1$的函数，可改写为
   $$F(n{\omega }_1)=F_{n}T={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f\left(t\right)e^{-jn{\omega }_{1}t}dt$$
   在$T\to \infty$时应有如下关系
   $$\{\begin{array}{l}{\omega }_1=\frac{2\pi }{T}\to \Delta \omega \to d\omega \\ n{\omega }_1\to n\Delta \omega \to \omega \\ F_n\to 0\end{array}$$
   即可得到傅里叶正变换
   $$F\left(\omega \right)={\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)e^{-j\omega t}dt$$
   由于
   $$F\left(\omega \right)=\underset{T\to \infty }{\lim }{F}_{n}T=\frac{2\pi F_n}{d\omega }$$
   可见$F(\omega )$相当于单位频率占有的幅度，具有密度的意义，所以常把$F(\omega )$称为频谱密度函数，简称频谱函数。即$F(\omega )$表达了函数在$\omega$处的频谱密度分布情况，这就是函数的傅里叶变换的物理含义。对函数进行频谱分析与对其进行傅里叶变换有着同样的含义。

下面由函数的$F(\omega )$重建非周期函数$f(t)$的表达式
$$f_T\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{F(n{\omega }_1)}{T}{e}^{jn{\omega }_{1}t}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{F(n{\omega }_1)}{2\pi }{\omega }_1{e}^{jn{\omega }_{1}t}$$
 当$T\to \infty$时，有
$$f\left(t\right)=\underset{T\to \infty }{\lim }{f}_T\left(t\right)=\underset{T\to \infty }{\lim }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{F\left(n{\omega }_1\right)}{2\pi }{\omega }_1{e}^{jn{\omega }_{1}t}=\frac{1}{2\pi }\underset{T\to \infty }{\lim }\sum _{n=-\infty }^{\infty }F\left(\omega \right)e^{jn{\omega }_{1}t}\Delta \omega =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F\left(\omega \right)e^{j\omega t}d\omega$$
 即得到傅里叶逆变换
$$f\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F\left(\omega \right)e^{j\omega t}\text{d}\omega$$

频谱函数$F(\omega )$一般为$\omega$的复函数。故有时把$F(\omega )$记为$F(j\omega )$。进一步地，$F(\omega )$可写为
$$F(\omega )=|F(\omega )|e^{j\phi (\omega )}$$
 式中，$|F(\omega )|$称为非周期函数的幅度频谱；$\phi (\omega )$称为非周期函数的相位频谱。幅度谱和相位谱都是频率$\omega$的连续函数。

 那么还可以继续得出
$$F\left(\omega \right)={\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)e^{-j\omega t}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)\cos \omega tdt-j{\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)\sin \omega tdt=a\left(\omega \right)-jb\left(\omega \right)$$
 式中，$a(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)\cos \omega tdt$为$\omega$的偶函数；$b(\omega )=j{\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)\sin \omega tdt$为$\omega$的奇函数；从而有$\left|F\left(\omega \right)\right|=\sqrt{a^2\left(\omega \right)+b^2\left(\omega \right)}$为$\omega$的偶函数；$\phi \left(\omega \right)=-\arctan \left[\frac{b\left(\omega \right)}{a\left(\omega \right)}\right]$为$\omega$的奇函数。

非周期函数$f(t)$是否存在傅里叶变换$F(\omega )$，仍应满足类似于傅里叶级数的狄利克雷条件，不同之处仅仅在于一个周期的范围，即要求函数在无限区间内绝对可积。
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\left|f\left(t\right)\right|dt<\infty$$
但这仅是充分条件，而不是必要条件。凡满足绝对可积条件的函数，它的变换$F(\omega )$必然存在，但不满足上式的函数，其傅里叶变换也可能纯在。

2. 傅里叶变换的主要性质如下：

• 线性性质$$a_1{f}_1\left(t\right)+a_2{f}_2\left(t\right)\leftrightarrow a_1{F}_1\left(\omega \right)+a_2{F}_2\left(\omega \right)$$
• 延时性质$$f\left(t\pm t_0\right)\leftrightarrow F\left(\omega \right)e^{\pm j\omega t_0}$$
• 尺度变换$$f\left(at\right)\leftrightarrow \frac{1}{\left|a\right|}F\left(\frac{\omega }{a}\right)$$
• 频移特性$$f\left(t\right)e^{j{\omega }_{0}t}\leftrightarrow F\left(\omega -{\omega }_0\right)$$
• 时域微分特性$$\frac{df\left(t\right)}{dt}\leftrightarrow j\omega F\left(\omega \right)$$
• 时域积分特性$${\int }_{-\infty }^{t}f\left(\tau \right)d\tau \leftrightarrow \pi F\left(0\right)\delta \left(\omega \right)+\frac{F\left(\omega \right)}{j\omega }$$
• 时-频对称性质$$F\left(t\right)\leftrightarrow 2\pi f\left(-\omega \right)$$
• 卷积定理$$f_1\left(t\right)\ast f_2\left(t\right)\leftrightarrow F\left(\omega \right)\cdot F\left(\omega \right)$$

3. 傅里叶变换的应用
   根据傅里叶变换的线性性质，微分性质和积分性质，对要求解的微分方程两端取傅里叶变换，将其转化为象函数的代数方程，由这个代数方程求出象函数，然后再取傅里叶逆变换就得出这类微分方程的解

连续系统复频域分析的工程数学基础

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离散系统的工程数学基础

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附录A 数学发展简史

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附录B 工程数学三大变换间的关系

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附录C 常用函数的三大变换对比表

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