【数学基础知识】证明三角形的三条垂线交于一点
三角形的三条垂线交于一点。本文用初中知识证明了该定理。
定理
三角形的三条垂线交于一点。
证明过程
已知：△ABC\triangle ABC△ABC中，AD⊥BC,BE⊥AC,CF⊥ABAD\perp BC, BE \perp AC, CF \perp ABAD⊥BC,BE⊥AC,CF⊥AB。
求证：AD,BE,CFAD, BE, CFAD,BE,CF 交于一点。
证明：过点A，B，C作直线分别平行于BC，AC，AB。三条平行直线分别交于点M，N，P，如上图所示。
易知四边形AMBC为平行四边形。
∴AM=BC(1)\therefore AM = BC \tag{1}∴AM=BC(1),
同理四边形ANCB也为平行四边形，
∴BC=AN(2)\therefore BC = AN \tag{2}∴BC=AN(2)
综合(1)式和(2)式可得
∴AM=AN(3)\therefore AM = AN\tag{3}∴AM=AN(3)
又∵AD⊥BC,MN//BC,∴\because AD \perp BC, MN // BC, \therefore∵AD⊥BC,MN//BC,∴
∴AD⊥MN(4)\therefore AD \perp MN \tag{4}∴AD⊥MN(4)
综合(3)式和(4)式可得AD垂直平分MN。
同理可证BE垂直平分MP，CF垂直平分PN。
即AD，BE，CF分别为△MNP\triangle MNP△MNP的中垂线，∴三者交于一点\therefore三者交于一点∴三者交于一点。
证毕。
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