多元时间序列模型

引例：考虑两个美国周度收益率的关系 $r_{1t},r_{3t}$：
$$r_{3t}={\alpha }_1+{\beta }_1{r}_{1t}+e_t$$
存在一些问题：

1. 联立方程问题：$r_{3t}$ 的变化会影响解释变量 $r_{1t}$。$r_{1t}$ 不是外生的：
   $$r_{1t}={\alpha }_2+{\beta }_2{r}_{3t}+{\epsilon }_t$$

2. 伪回归：两个利率序列为单位根非平稳，但是不协整。

实际中，残差项 $e_t$ 通常是序列相关的，OLS对 ${\alpha }_1,{\beta }_1$ 的估计可能并不一致。

弱平稳与交叉——相关矩阵

二维的时间序列

$$\begin{gathered} {\mathbf{r}}_{\mathbf{t}}=\left[\begin{array}{c}{r}_{1t}\\ r_{2t}\end{array}\right] \\ E({\mathbf{r}}_{\mathbf{t}})=\left[\begin{array}{c}E(r_{1t})\\ E(r_{2t})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mu }_1\\ {\mu }_2\end{array}\right]=\mathbf{\mu } \\ Var({\mathbf{r}}_{\mathbf{t}})=\left[\begin{array}{cc}Var(r_{1t})& Cov(r_{1t},r_{2t})\\ Cov(r_{2t},r_{1t})& Var(r_{2t})\end{array}\right]={\mathbf{\Gamma }}_0 \end{gathered}$$

定义一个对角矩阵：
$$\mathbf{D}=\left[\begin{array}{cc}std(r_{1t})& 0\\ 0& std(r_{2t})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{{\Gamma }_{11}(0)}& 0\\ 0& \sqrt{{\Gamma }_{22}(0)}\end{array}\right]$$
同步交叉——相关矩阵：
$$corr(r_t)={\mathbf{\rho }}_0={\mathbf{D}}^{-1}{\mathbf{\Gamma }}_0{\mathbf{D}}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& corr(r_{1t},r_{2t})\\ corr(r_{2t},r_{1t})& 1\end{array}\right]$$
延迟为 $l$ 的交叉协方差矩阵：
$$\begin{gathered} {\mathbf{r}}_{\mathbf{t}}-\mathbf{\mu }=\left[\begin{array}{c}{r}_{1t}-{\mu }_1\\ r_{2t}-{\mu }_2\end{array}\right],({\mathbf{r}}_{\mathbf{t}-\mathbf{l}}-\mathbf{\mu }{)}^T=\left[\begin{array}{cc}{r}_{1,t-l}-{\mu }_1& r_{2,t-l}-{\mu }_2\end{array}\right] \\ {\mathbf{\Gamma }}_{\mathbf{l}}=Cov({\mathbf{r}}_{\mathbf{t}},{\mathbf{r}}_{\mathbf{t}-\mathbf{l}})=E[({\mathbf{r}}_{\mathbf{t}}-\mathbf{\mu })({\mathbf{r}}_{\mathbf{t}-\mathbf{l}}-\mathbf{\mu }{)}^T]=\left[\begin{array}{cc}E(r_{1t}-{\mu }_1)(r_{1,t-l}-{\mu }_1)& E(r_{1t}-{\mu }_1)(r_{2,t-l}-{\mu }_2)\\ E(r_{2t}-{\mu }_2)(r_{1,t-l}-{\mu }_1)& E(r_{2t}-{\mu }_2)(r_{2,t-l}-{\mu }_2)\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}{\Gamma }_{11}(l)& {\Gamma }_{12}(l)\\ {\Gamma }_{21}(l)& {\Gamma }_{22}(l)\end{array}\right] \end{gathered}$$
对于一个弱平稳序列，${\mathbf{\Gamma }}_{\mathbf{l}}$ 是 $l$ 的一个函数，与时间 $t$ 无关。

当 $l\ne 0$ 时，${\mathbf{\Gamma }}_{\mathbf{l}}$ 不是对称的。

延迟为 $l$ 的交叉——相关矩阵（CCM）：
$${\mathbf{\rho }}_l={\mathbf{D}}^{-1}{\mathbf{\Gamma }}_{\mathbf{l}}{\mathbf{D}}^{-1}$$
从平稳性可以得到：
$$\begin{gathered} {\mathbf{\Gamma }}_{-\mathbf{l}}=Cov({\mathbf{r}}_{\mathbf{t}},{\mathbf{r}}_{\mathbf{t}+\mathbf{l}})=\left[\begin{array}{cc}Cov(r_{1t},r_{1,t+l})& Cov(r_{1t},r_{2,t+l})\\ Cov(r_{2t},r_{1,t+l})& Cov(r_{2t},r_{2,t+l})\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}Cov(r_{1,t-l},r_{1t})& Cov(r_{1,t-l},r_{2t})\\ Cov(r_{2,t-l},r_{1t})& Cov(r_{2,t-l},r_{2t})\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}E(r_{1,t-l}-{\mu }_1)(r_{1t}-{\mu }_1)& E(r_{1,t-l}-{\mu }_1)(r_{2t}-{\mu }_2)\\ E(r_{2,t-l}-{\mu }_2)(r_{1t}-{\mu }_1)& E(r_{2,t-l}-{\mu }_2)(r_{2t}-{\mu }_2)\end{array}\right]={{\mathbf{\Gamma }}_{\mathbf{l}}}^T \\ {\mathbf{\rho }}_{-\mathbf{l}}={{\mathbf{\rho }}_{\mathbf{l}}}^T \end{gathered}$$

k维的时间序列

考虑 { r 1 t } , ⋯   , { r k t } \{r_{1t}\},\cdots,\{r_{kt}\} {r1t​},⋯,{rkt​}，${\mathbf{r}}_{\mathbf{t}}=(r_{1t},\cdots ,r_{kt}{)}^T$，在平稳性条件下：
E ( r t ) = μ = ( μ 1 , ⋯   , μ k ) T V a r ( r t ) = Γ 0 = E [ ( r t − μ ) ( r t − μ ) T ] = [ Γ i j ( 0 ) ] Γ l = [ Γ i j ( l ) ] = E [ ( r t − μ ) ( r t − l − μ ) T ] D = d i a g { V a r ( r 1 t ) , ⋯   , V a r ( r k t ) } ρ l ≡ [ ρ i j ( l ) ] = D − 1 Γ l D − 1 E(\boldsymbol{r_t})=\boldsymbol\mu=(\mu_1,\cdots,\mu_k)^T\\Var(\boldsymbol{r_t})=\boldsymbol{\Gamma_0}=E[(\boldsymbol{r_t}-\boldsymbol\mu)(\boldsymbol{r_t}-\boldsymbol\mu)^T]=[\Gamma_{ij}(0)]\\\boldsymbol{\Gamma_l}=[\Gamma_{ij}(l)]=E[(\boldsymbol{r_t}-\boldsymbol\mu)(\boldsymbol{r_{t-l}}-\boldsymbol\mu)^T]\\\boldsymbol D=diag\{\sqrt{Var(r_{1t})},\cdots,\sqrt{Var(r_{kt})}\}\\\boldsymbol\rho_l\equiv[\rho_{ij}(l)]=\boldsymbol D^{-1}\boldsymbol{\Gamma_l}\boldsymbol D^{-1} E(rt​)=μ=(μ1​,⋯,μk​)TVar(rt​)=Γ0​=E[(rt​−μ)(rt​−μ)T]=[Γij​(0)]Γl​=[Γij​(l)]=E[(rt​−μ)(rt−l​−μ)T]D=diag{Var(r1t​) ​,⋯,Var(rkt​) ​}ρl​≡[ρij​(l)]=D−1Γl​D−1
${\rho }_{ij}(l)$ 是 $r_{it}$ 与 $r_{j,t-l}$ 的相关系数。如果 ${\rho }_{ij}(l)\ne 0,l>0$，此相关系数衡量了 $r_{it}$ 对发生在 $t$ 时刻以前的 $r_{j,t-l}$ 的线性依赖，序列 $r_{jt}$ 在延迟 $l$ 处引导着序列 $r_{it}$。类似的，${\rho }_{ji}(l)$ 衡量了 $r_{jt}$ 对 $r_{i,t-l}$ 的线性依赖，如果 ${\rho }_{ji}(l)\ne 0,l>0$，$r_{it}$ 在延迟 $l$ 处引导着序列 $r_{jt}$。

一般而言，对于 $i\ne j$，${\rho }_{ij}(l)\ne {\rho }_{ji}(l)$。

${\rho }_{ii}(l)$ 的对角元素恰恰为 $r_{it}$ 的延迟为 $l$ 的自相关系数。

样本交叉—相关矩阵

给定数据 { r t ∣ t = 1 , ⋯   , T } \{\boldsymbol{r_t}|t=1,\cdots,T\} {rt​∣t=1,⋯,T}，其交叉—协方差矩阵可以通过下式估计：
$$\begin{gathered} {\hat{\mathbf{\Gamma }}}_l=\frac{1}{T}\sum _{t=l+1}^T({\mathbf{r}}_{\mathbf{t}}-\bar{\mathbf{r}})({\mathbf{r}}_{\mathbf{t}-\mathbf{l}}-\bar{\mathbf{r}}{)}^T,l\ge 0 \\ \bar{\mathbf{r}}=\sum _{t=1}^T{\mathbf{r}}_t/T \end{gathered}$$
交叉——相关矩阵 ${\mathbf{\rho }}_l$ 的估计为：
$$\widehat{{\mathbf{\rho }}_l}={\hat{\mathbf{D}}}^{-1}\widehat{{\mathbf{\Gamma }}_{\mathbf{l}}}{\hat{\mathbf{D}}}^{-1},l\ge 0$$
其中 $\hat{\mathbf{D}}$ 是分量序列的样本标准差构成的 $k\times k$ 对角矩阵。

多元混成检验

H 0 : ρ 1 = ⋯ = ρ m = 0 ; H a : ρ i ≠ 0   f o r   s o m e   i ∈ { 1 , ⋯   , m } H_0:\boldsymbol{\rho_1}=\cdots=\boldsymbol{\rho_m}=\boldsymbol0;H_a:\boldsymbol{\rho_i}\neq\boldsymbol0\ for\ some\ i\in\{1,\cdots,m\} H0​:ρ1​=⋯=ρm​=0;Ha​:ρi​​=0 for some i∈{1,⋯,m}

检验统计量如下：
$$Q_k(m)=T^2\sum _{l=1}^m\frac{1}{T-l}tr({\hat{\mathbf{\Gamma }}}_l^T{\hat{\mathbf{\Gamma }}}_0^{-1}{\hat{\mathbf{\Gamma }}}_l{\hat{\mathbf{\Gamma }}}_0^{-1})$$
其中 $T$ 为样本容量，$k$ 为 ${\mathbf{r}}_t$ 的维数，$tr(\mathbf{A})$ 是矩阵 $\mathbf{A}$ 的迹，即 $\mathbf{A}$ 的对角线元素的和。

在零假设以及一些正则条件下，$Q_k(m)$ 渐近服从一个自由度为 $k^{2}m$ 的 ${\chi }^2$ 分布。

$Q_k(m)$ 统计量是对 ${\mathbf{r}}_t$ 的前 $m$ 个交叉——相关矩阵的一个联合检验。如果零假设被拒绝，那么必须对序列建议一个多元模型来研究序列分量之间的引导——延迟关系。

向量自回归模型

二元时间序列的VAR(1)

$$\begin{gathered} {\mathbf{r}}_t={\mathbf{\varphi }}_0+\mathbf{\Phi }{\mathbf{r}}_{t-1}+{\mathbf{a}}_t \\ \left[\begin{array}{c}{r}_{1t}\\ r_{2t}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\varphi }_{10}\\ {\varphi }_{20}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\varphi }_{11}& {\varphi }_{12}\\ {\varphi }_{21}& {\varphi }_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{r}_{1,t-1}\\ r_{2,t-1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{a}_{1t}\\ a_{2t}\end{array}\right] \end{gathered}$$

其中 { a t } \{a_t\} {at​} 是一个序列不相关的随机向量序列，其均值为0，协方差矩阵为：
$$var(a_t)=\Sigma =\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}\end{array}\right],{\sigma }_{12}={\sigma }_{21}$$
展开的模型为：
$$\begin{gathered} r_{1t}={\varphi }_{10}+{\varphi }_{11}{r}_{1,t-1}+{\varphi }_{12}{r}_{2,t-1}+a_{1t} \\ {r}_{2t}={\varphi }_{20}+{\varphi }_{21}{r}_{1,t-1}+{\varphi }_{22}{r}_{2,t-1}+a_{2t} \end{gathered}$$
对于 VAR(1)，如果 ${\varphi }_{12}=0,{\varphi }_{21}\ne 0$，那么：

1. $r_{1t}$ 并不依赖于 $r_{2,t-1}$
2. $r_{2t}$ 依赖于 $r_{1,t-1}$

上述是一个格兰杰因果关系的例子。

如果 ${\varphi }_{12}\ne 0,{\varphi }_{21}\ne 0$，那么：

1. $r_{1t}$ 依赖于 $r_{2,t-1}$
2. $r_{2t}$ 依赖于 $r_{1,t-1}$

如果 ${\varphi }_{12}=0,{\varphi }_{21}=0$，那么：

1. $r_{1t}$ 并不依赖于 $r_{2,t-1}$
2. $r_{2t}$ 并不依赖于 $r_{1,t-1}$

VAR(1)模型的平稳性

$${\mathbf{r}}_t={\mathbf{\varphi }}_0+{\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{r}}_{t-1}+{\mathbf{a}}_t$$

{ r t } \{\boldsymbol r_t\} {rt​} 是平稳的如果：$det(\mathbf{I}-{\mathbf{\Phi }}_{1}z)=0$ 的解的模都大于1。
$$\begin{gathered} det(\mathbf{I}-{\mathbf{\Phi }}_{1}z)=0 \\ det\left[\begin{array}{cc}1-{\varphi }_{11}z& -{\varphi }_{12}z\\ -{\varphi }_{21}z& 1-{\varphi }_{22}z\end{array}\right]=0 \\ (1-{\varphi }_{11}z)(1-{\varphi }_{22}z)-{\varphi }_{12}{\varphi }_{21}{z}^2=0 \end{gathered}$$
平稳性条件涉及交叉项 ${\varphi }_{12},{\varphi }_{21}$。如果 ${\varphi }_{12}={\varphi }_{21}=0$，则二变量平稳性条件简化为单变量平稳性条件。
$$\begin{gathered} E({\mathbf{r}}_t)={\mathbf{\varphi }}_0+{\mathbf{\Phi }}_{1}E({\mathbf{r}}_{t-1}) \\ (\mathbf{I}-{\mathbf{\Phi }}_1)E({\mathbf{r}}_t)={\mathbf{\varphi }}_0 \\ \mathbf{\mu }\equiv E({\mathbf{r}}_t)=(\mathbf{I}-{\mathbf{\Phi }}_1{)}^{-1}{\mathbf{\varphi }}_0 \\ ({\mathbf{r}}_{\mathbf{t}}-\mathbf{\mu })={\mathbf{\Phi }}_1({\mathbf{r}}_{\mathbf{t}-1}-\mathbf{\mu })+{\mathbf{a}}_t \\ {\tilde{\mathbf{r}}}_t={\mathbf{\Phi }}_1{\tilde{\mathbf{r}}}_{t-1}+{\mathbf{a}}_t \\ {\tilde{\mathbf{r}}}_t={\mathbf{a}}_t+{\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{a}}_{t-1}+{\mathbf{\Phi }}_1^2{\mathbf{a}}_{t-2}+{\mathbf{\Phi }}_1^3{\mathbf{a}}_{t-3}+\cdots \\ Cov({\mathbf{r}}_t)={\mathbf{\Gamma }}_0=\Sigma +{\mathbf{\Phi }}_1\Sigma {\mathbf{\Phi }}_1^T+{\mathbf{\Phi }}_1^2\Sigma ({\mathbf{\Phi }}_1^2{)}^T+\cdots =\sum _{i=0}^{\infty }{\mathbf{\Phi }}_1^i\Sigma ({\mathbf{\Phi }}_1^i{)}^T \\ E({\tilde{\mathbf{r}}}_t{\tilde{\mathbf{r}}}_{t-l}^T)={\mathbf{\Phi }}_{1}E({\tilde{\mathbf{r}}}_{t-1}{\tilde{\mathbf{r}}}_{t-l}^T)+E({\mathbf{a}}_t{\tilde{\mathbf{r}}}_{t-l}^T) \\ {\mathbf{\Gamma }}_l={\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{\Gamma }}_{l-1},l>1 \end{gathered}$$
通过不断迭代可得：
$${\mathbf{\Gamma }}_l={\mathbf{\Phi }}_1^l{\mathbf{\Gamma }}_0,l>0$$
同时，有：
$${\mathbf{\rho }}_l={\mathbf{D}}^{-1}{\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{\Gamma }}_{l-1}{\mathbf{D}}^{-1}={\mathbf{D}}^{-1}{\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{D}}^1{\mathbf{D}}^{-1}{\mathbf{\Gamma }}_{l-1}{\mathbf{D}}^{-1}={\mathbf{\gamma }\mathbf{\rho }}_{l-1}$$
其中，$\mathbf{\gamma }={\mathbf{D}}^{-1}{\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{D}}^1$，所以VAR(1)模型的CCM满足：
$${\mathbf{\rho }}_l={{\mathbf{\gamma }}^{\mathbf{l}}\mathbf{\rho }}_0,l>0$$

结构向量自回归模型

$$\begin{gathered} B_0=\left[\begin{array}{cc}1& -b_{12}^{(0)}\\ -b_{21}^{(0)}& 1\end{array}\right],r_t=\left[\begin{array}{c}{r}_{1t}\\ r_{2t}\end{array}\right],B_1=\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}^{(1)}& b_{12}^{(1)}\\ b_{21}^{(1)}& b_{22}^{(1)}\end{array}\right] \\ {B}_0{r}_t=c+B_1{r}_{t-1}+u_t,u_t{\sim }^{i.i.d}N(0,\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_1^2& 0\\ 0& {\sigma }_2^2\end{array}\right]) \\ {r}_{1t}-b_{12}^{(0)}{r}_{2t}=c_{10}+b_{11}^{(1)}{r}_{1,t-1}+b_{12}^{(1)}{r}_{2,t-1}+u_{1t} \\ {r}_{2t}-b_{21}^{(0)}{r}_{1t}=c_{20}+b_{21}^{(1)}{r}_{1,t-1}+b_{22}^{(1)}{r}_{2,t-1}+u_{2t} \end{gathered}$$

我们有：
$$\begin{gathered} B_0^{-1}=\frac{1}{1-b_{12}^{(0)}{b}_{21}^{(0)}}\left[\begin{array}{cc}1& b_{12}^{(0)}\\ b_{21}^{(0)}& 1\end{array}\right] \\ {r}_t=B_0^{-1}c+B_0^{-1}{B}_1{r}_{t-1}+B_0^{-1}{u}_t \end{gathered}$$
等价的：
$$r_t={\varphi }_0+{\varphi }_1{r}_{t-1}+a_t,a_t{\sim }^{i.i.d}N(0,\Sigma ),\Sigma =B_0^{-1}\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_1^2& 0\\ 0& {\sigma }_2^2\end{array}\right](B_0^{-1}{)}^T$$
如果我们可以识别 $B_0$，那么我们就可以检索 $c$ 和 $B_1$。

楚列斯基分解：$\Sigma =LG{L}^T$，其中 $L$ 是一个具有单位对角元素的下三角矩阵，$G$ 是一个对角矩阵。

VAR简约式：
$$r_t={\varphi }_0+{\varphi }_1{r}_{t-1}+a_t$$
VAR结构形式：
$$L^{-1}{r}_t=L^{-1}{\varphi }_0+L^{-1}{\varphi }_1{r}_{t-1}+L^{-1}{a}_t={\varphi }_0^{\ast }+{\varphi }_1^{\ast }{r}_{t-1}+u_t$$

双变量VAR(1)

脉冲响应函数

$$\begin{gathered} {\mathbf{r}}_t={\mathbf{\Phi }}_0+{\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{r}}_{t-1}+{\mathbf{a}}_t \\ ={\mathbf{\Phi }}_0+{\mathbf{\Phi }}_1({\mathbf{\Phi }}_0+{\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{r}}_{t-2}+{\mathbf{a}}_{t-1})+{\mathbf{a}}_t \\ ={\mathbf{\Phi }}_0+{\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{\Phi }}_0+{\mathbf{\pi }}_1^2({\mathbf{\Phi }}_0+{\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{r}}_{t-3}+{\mathbf{a}}_{t-2})+{\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{a}}_{t-1}+{\mathbf{a}}_t \\ ={\mathbf{\Phi }}_0\sum _{i=0}^{t-1}{\mathbf{\Phi }}_1^i+{\mathbf{\Phi }}_1^t{\mathbf{r}}_0+\sum _{i=0}^{t-1}{\mathbf{\Phi }}_1^i{\mathbf{a}}_{t-i} \\ {\to }_{t\to \infty }{\mathbf{\Phi }}_0\sum _{i=0}^{\infty }{\mathbf{\Phi }}_1^i+\sum _{i=0}^{\infty }{\mathbf{\Phi }}_1^i{\mathbf{a}}_{t-i} \\ =(\mathbf{I}-{\mathbf{\Phi }}_1{)}^{-1}{\mathbf{\Phi }}_0+\sum _{i=0}^{\infty }{\mathbf{\Phi }}_1^i{\mathbf{a}}_{t-i}=\mathbf{\mu }+\sum _{i=0}^{\infty }{\mathbf{\psi }}_i{\mathbf{a}}_{t-i} \end{gathered}$$

其中，$\mathbf{\mu }=(\mathbf{I}-{\mathbf{\Phi }}_1{)}^{-1}{\mathbf{\Phi }}_0,{\mathbf{\psi }}_i={\mathbf{\varphi }}_1^i$。

将 ${\mathbf{\psi }}_i$ 表示为：
$$\begin{gathered} {\mathbf{\psi }}_i=\left[\begin{array}{cc}{\psi }_{11}(i)& {\psi }_{12}(i)\\ {\psi }_{21}(i)& {\psi }_{22}(i)\end{array}\right] \\ {\psi }_{11}(i)=\frac{\partial r_{1t}}{\partial a_{1,t-i}},{\psi }_{12}(i)=\frac{\partial r_{1t}}{\partial a_{2,t-i}},{\psi }_{21}(i)=\frac{\partial r_{2t}}{\partial a_{1,t-i}},{\psi }_{22}(i)=\frac{\partial r_{2t}}{\partial a_{2,t-i}} \end{gathered}$$
上述四个分式为脉冲响应函数。

上文中的等价式 $a_t=B_0^{-1}{u}_t$，所以有：
$${\mathbf{r}}_t=\mathbf{\mu }+\sum _{i=0}^{\infty }{\mathbf{\Phi }}_1^i{\mathbf{a}}_{t-i}=\mathbf{\mu }+\sum _{i=0}^{\infty }{\mathbf{\Phi }}_1^i{\mathbf{B}}_0^{-1}{\mathbf{u}}_{\mathbf{t}-\mathbf{i}}$$
定义：
$$\begin{gathered} {\mathbf{\Pi }}_i={\mathbf{\Phi }}_1^i{\mathbf{B}}_0^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{\pi }_{11}(i)& {\pi }_{12}(i)\\ {\pi }_{21}(i)& {\pi }_{22}(i)\end{array}\right] \\ {\pi }_{11}(i)=\frac{\partial r_{1t}}{\partial u_{1,t-i}},{\pi }_{12}(i)=\frac{\partial r_{1t}}{\partial u_{2,t-i}},{\pi }_{21}(i)=\frac{\partial r_{2t}}{\partial u_{1,t-i}},{\pi }_{22}(i)=\frac{\partial r_{2t}}{\partial u_{2,t-i}} \end{gathered}$$

预测误差方差分解

使用VMA$(\infty )$ 格式：
$$\begin{gathered} {\mathbf{r}}_{t+n}=\mathbf{\mu }+\sum _{i=0}^{\infty }{\mathbf{\Pi }}_{\mathbf{i}}{\mathbf{u}}_{\mathbf{t}+\mathbf{n}-\mathbf{i}} \\ E[{\mathbf{r}}_{t+n}|{ϝ}_t]=\mathbf{\mu }+\sum _{i=n}^{\infty }{\mathbf{\Pi }}_{\mathbf{i}}{\mathbf{u}}_{\mathbf{t}+\mathbf{n}-\mathbf{i}} \\ {e}_t(n)=\sum _{i=0}^{n-1}{\mathbf{\Pi }}_{\mathbf{i}}{\mathbf{u}}_{\mathbf{t}+\mathbf{n}-\mathbf{i}} \end{gathered}$$
分解式为：
$$\begin{gathered} e_t(n)=\sum _{i=0}^{n-1}{\mathbf{\Pi }}_{\mathbf{i}}{\mathbf{u}}_{\mathbf{t}+\mathbf{n}-\mathbf{i}} \\ =e_t(n)=\sum _{i=0}^{n-1}\left[\begin{array}{cc}{\pi }_{11}(i)& {\pi }_{12}(i)\\ {\pi }_{21}(i)& {\pi }_{22}(i)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_{1,t+n-i}\\ u_{2,t+n-i}\end{array}\right] \\ =\sum _{i=0}^{n-1}\left[\begin{array}{c}{\pi }_{11}(i)u_{1,t+n-i}+{\pi }_{12}(i)u_{2,t+n-i}\\ {\pi }_{21}(i)u_{1,t+n-i}+{\pi }_{22}(i)u_{2,t+n-i}\end{array}\right] \end{gathered}$$
$r_{1,t+n}$ $n$ 步向前预测误差为：${\sum }_{i=0}^{n-1}({\pi }_{11}(i)u_{1,t+n-i}+{\pi }_{12}(i)u_{2,t+n-i})$

$r_{2,t+n}$ $n$ 步向前预测误差为：${\sum }_{i=0}^{n-1}({\pi }_{21}(i)u_{1,t+n-i}+{\pi }_{22}(i)u_{2,t+n-i})$

$r_{1,t+n}$ $n$ 步向前预测误差方差为：${\sigma }_{r_1}^2(n)={\sigma }_1^2{\sum }_{i=0}^{n-1}{\pi }_{11}^2(i)+{\sigma }_2^2{\sum }_{i=0}^{n-1}{\pi }_{12}^2(i)$

$r_{2,t+n}$ $n$ 步向前预测误差方差为：${\sigma }_{r_2}^2(n)={\sigma }_1^2{\sum }_{i=0}^{n-1}{\pi }_{21}^2(i)+{\sigma }_2^2{\sum }_{i=0}^{n-1}{\pi }_{22}^2(i)$

我们可以将 $n$ 步向前预测误差方差分解为每个结构波动引起的比例这里只考虑 $r_{1,t+n}$：
σ 1 2 ∑ i = 0 n − 1 π 11 2 ( i ) σ r 1 2 ( n )    d u e   t o   s h o c k s   i n   t h e   { u 1 , t }   s e q u e n c e . σ 2 2 ∑ i = 0 n − 1 π 12 2 ( i ) σ r 1 2 ( n )    d u e   t o   s h o c k s   i n   t h e   { u 2 , t }   s e q u e n c e . \frac{\sigma_1^2\sum_{i=0}^{n-1}\pi_{11}^2(i)}{\sigma_{r_1}^2(n)}\ \ due\ to\ shocks\ in\ the \ \{u_{1,t}\}\ sequence.\\\frac{\sigma_2^2\sum_{i=0}^{n-1}\pi_{12}^2(i)}{\sigma_{r_1}^2(n)}\ \ due\ to\ shocks\ in\ the \ \{u_{2,t}\}\ sequence. σr1​2​(n)σ12​∑i=0n−1​π112​(i)​  due to shocks in the {u1,t​} sequence.σr1​2​(n)σ22​∑i=0n−1​π122​(i)​  due to shocks in the {u2,t​} sequence.

VAR（p）

$k$ 元的 $p$ 阶滞后的VAR模型有如下形式：
$${\mathbf{r}}_t={\mathbf{\Phi }}_0+{\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{r}}_{t-1}+\cdots +{\mathbf{\Phi }}_p{\mathbf{r}}_{t-p}+{\mathbf{a}}_t,p>0$$
其中 ${\mathbf{\Phi }}_0$ 是 $k$ 维向量，${\mathbf{\Phi }}_j$ 是 $k\times k$ 维矩阵， { a t } \{\boldsymbol a_t\} {at​} 是序列不相关的随机向量（零均值，协方差矩阵为 $\Sigma$）。

还可以表示成另一种形式：
$$({\mathbf{I}}_k-{\mathbf{\Phi }}_{1}B-\cdots -{\mathbf{\Phi }}_p{B}^p){\mathbf{r}}_t={\mathbf{\varphi }}_0+{\mathbf{a}}_t$$
其中 ${\mathbf{I}}_k$ 是 $k\times k$ 的单位矩阵。

平稳条件：$det({\mathbf{I}}_k-{\mathbf{\Phi }}_{1}z-\cdots -{\mathbf{\Phi }}_p{z}^p)=0$ 的根都在复单位圆内。

如果 ${\mathbf{r}}_t$ 是弱平稳，我们有：
$$\begin{gathered} \mathbf{\mu }=E({\mathbf{r}}_t)=(\mathbf{I}-{\mathbf{\Phi }}_1-\cdots -{\mathbf{\Phi }}_p{)}^{-1}{\mathbf{\Phi }}_0 \\ Cov({\mathbf{r}}_{\mathbf{t}},{\mathbf{a}}_{\mathbf{t}})=\Sigma \\ Cov({\mathbf{r}}_{\mathbf{t}-\mathbf{l}},{\mathbf{a}}_{\mathbf{t}})=0,l>0 \\ {\mathbf{\Gamma }}_l={\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{\Gamma }}_{l-1}+\cdots +{\mathbf{\Phi }}_p{\mathbf{\Gamma }}_{l-p},l>0 \\ {\mathbf{\rho }}_l={{\mathbf{\gamma }}_1\mathbf{\rho }}_{l-1}+\cdots +{{\mathbf{\gamma }}_{\mathbf{p}}\mathbf{\rho }}_{l-p},l>0,{\mathbf{\gamma }}_{\mathbf{i}}={\mathbf{D}}^{-1}{\mathbf{\Phi }}_i{\mathbf{D}}^1 \end{gathered}$$
估计：可以利用普通最小二乘法或似不相关回归估计每个方程。

模型选择、检验和预测

VAR模型中包含的变量是根据相关的经济或金融理论进行选择。选定的变量必须对彼此具有经济影响。换句话说，它们之间一定有因果关系。

要避免过参数化和自由度丧失的问题，模型太大，将会失去自由度。

在VAR§模型下，残差为 ${\widehat{{\mathbf{a}}_t}}^{(p)}$，最大似然（ML）估计为：
$$\widehat{{\Sigma }_p}=\frac{1}{T}\sum _{t=p+1}^T{\widehat{{\mathbf{a}}_t}}^{(p)}[{\widehat{{\mathbf{a}}_t}}^{(p)}{]}^T$$
在正态假定下：
$$\begin{gathered} AIC(p)=\ln (|\widehat{{\Sigma }_p}|)+\frac{2k^{2}p}{T} \\ BIC(p)=\ln (|\widehat{{\Sigma }_p}|)+\frac{k^{2}p\ln (T)}{T} \\ HQ(p)=\ln (|\widehat{{\Sigma }_p}|)+\frac{2k^{2}p\ln [\ln (T)]}{T} \end{gathered}$$
可以对残差序列利用 $Q_k(m)$ 统计量来检验残差之间没有序列相关或交叉—相关的假定。对一个拟合的VAR（p）模型，残差的 $Q_k(m)$ 统计量渐近服从 ${\chi }^2(k^{2}m-g)$，这里 $g$ 为AR系数矩阵中待估参数的个数。

预测：类似于单变量的情况。

格兰杰因果检验

VAR模型的主要用途之一是预测。

如果对所有的 $s>0$，基于 $(r_{2,t},r_{2,t-1},\cdots )$ 对 $r_{2,t+s}$ 的预测的MSE和基于 $(r_{2,t},r_{2,t-1},\cdots )、(r_{1,t},r_{1,t-1},\cdots )$ 对 $r_{2,t+s}$ 的预测的MSE相同，则 $r_{1}failstoGranger-cause{r}_2$。

格兰杰因果检验的概念并不意味着真正的因果关系，它只意味着有预测能力。

$r_{2}failstoGranger-cause{r}_1$ 意味着：所有 $p$ 个VAR系数矩阵 ${\mathbf{\Phi }}_1,\cdots ,{\mathbf{\Phi }}_p$ 是下三角形矩阵：
$$\left(\begin{array}{c}{r}_{1t}\\ r_{2t}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\varphi }_{10}\\ {\varphi }_{20}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{\varphi }_{11}^1& 0\\ {\varphi }_{21}^1& {\varphi }_{22}^1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{r}_{1,t-1}\\ r_{2,t-1}\end{array}\right)+\cdots +\left(\begin{array}{cc}{\varphi }_{11}^p& 0\\ {\varphi }_{21}^p& {\varphi }_{22}^p\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{r}_{1,t-p}\\ r_{2,t-p}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{\epsilon }_{1t}\\ {\epsilon }_{2t}\end{array}\right)$$
$r_{2}failstoGranger-cause{r}_{1}and{r}_{1}failstoGranger-cause{r}_2$ 意味着：所有 $p$ 个VAR系数矩阵 ${\mathbf{\Phi }}_1,\cdots ,{\mathbf{\Phi }}_p$ 是对角矩阵：
$$\left(\begin{array}{c}{r}_{1t}\\ r_{2t}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\varphi }_{10}\\ {\varphi }_{20}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{\varphi }_{11}^1& 0\\ 0& {\varphi }_{22}^1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{r}_{1,t-1}\\ r_{2,t-1}\end{array}\right)+\cdots +\left(\begin{array}{cc}{\varphi }_{11}^p& 0\\ 0& {\varphi }_{22}^p\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{r}_{1,t-p}\\ r_{2,t-p}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{\epsilon }_{1t}\\ {\epsilon }_{2t}\end{array}\right)$$
在双变量模型中，$r_{2}failstoGranger-cause{r}_1$ 可以简化为检验 $H_0:{\varphi }_{12}^1={\varphi }_{12}^2=\cdots ={\varphi }_{12}^p=0$，模型为：
$$r_{1t}={\varphi }_{10}+{\varphi }_{11}^1{r}_{1,t-1}+\cdots +{\varphi }_{11}^p{r}_{1,t-p}+{\varphi }_{12}^1{r}_{2,t-1}+\cdots +{\varphi }_{12}^p{r}_{2,t-p}+{\epsilon }_{1t}$$
检验是一个简单的F检验。