1 引言

  EM算法用于具有隐变量模型的参数估计，如高斯混合模型，VAE算法推导的前置知识等，了解EM算法更能深刻理解许多复杂算法模型。

  本文为自学内容的记录，其中多有参考他人博客的地方在参考文献一并给出链接。

2 为什么需要EM算法

3 EM算法的推导

  对于$m$个相互独立的样本 $x=(x_1,x_2,\dots ,x_m)$，对应的隐含数据$z=(z_1,z_2,\dots ,z_m)$，此时$(x,z)$为完全数据，样本模型的参数为 $\theta$ 则观察数据$x_i$的概率为$P(x_i|\theta )$，完全数据$(x_i,z_i)$的似然函数为$P(x_i,z_i|\theta )$。

  假如没有隐含变量$z$,仅需要找到合适的 $\theta$ 极大对数似然函数即可:
$$\theta =\arg \underset{\theta }{\max }L(\theta )=\arg \underset{\theta }{\max }\sum _{i=1}^m\log P\left(x_i\mid \theta \right)$$
增加隐含变量$z$之后，我们的目标变成了找到合适的$\theta$和$z$让对数似然函数最大：
$$\theta ,z=\arg \underset{\theta ,z}{\max }L(\theta ,z)=\arg \underset{\theta ,z}{\max }\sum _{i=1}^m\log \sum _{z_i}P\left(x_i,z_i\mid \theta \right)$$

  如果上式在$log$里面会出现积分(求和)符号，导致对似然函数的求导变得困难，无法求解。对于这种无法直接求解的问题，我们通常会采用迭代求解的策略，一步一步逼近最终的结果，在EM算法中就是E步和M步的交替进行，直至收敛。

4 ELBO+KL形式

根据条件概率公式则
$$P(X\mid \theta )=\frac{P(X,Z\mid \theta )}{P(Z\mid X,\theta )}$$
其中，上式引入了隐变量$Z$和参数$\theta$，$P(Z\mid X,\theta )$是后验概率。
对上式两边取对数
$$\log P(X\mid \theta )=\log P(X,Z\mid \theta )-\log P(Z\mid X,\theta )$$

下面的构造就比较有技巧性了，引入$Z$的概率分布$q(Z)$（$q(Z)$可以是任意一个分布，个人感觉这里是为了凑$KL$散度公式，十分巧妙（见参考文献【8】））并且
${\int }_{Z}q(Z)dZ=1$，则上式可以写为：

$$\log P(X\mid \theta )=\log \frac{P(X,Z\mid \theta )}{q(Z)}-\log \frac{P(Z\mid X,\theta )}{q(Z)}$$

然后两边同时求关于变量$Z$的期望

$${\mathbb{E}}_Z[\log P(X\mid \theta )]={\mathbb{E}}_Z\left[\log \frac{P(X,Z\mid \theta )}{q(Z)}\right]-{\mathbb{E}}_Z\left[\log \frac{P(Z\mid X,\theta )}{q(Z)}\right]$$

将期望写成积分的形式（见参考文献【10】）

$${\int }_{Z}q(Z)\log P(X\mid \theta )dZ={\int }_{Z}q(Z)\log \frac{P(X,Z\mid \theta )}{q(Z)}dZ-{\int }_{Z}q(Z)\log \frac{P(Z\mid X,\theta )}{q(Z)}dZ$$

同时由于 $log(P(X|\theta ))$和$Z$无关，上式又可变换为：

$$\log P(X\mid \theta )={\int }_{Z}q(Z)\log \frac{P(X,Z\mid \theta )}{q(Z)}dZ-{\int }_{Z}q(Z)\log \frac{P(Z\mid X,\theta )}{q(Z)}dZ$$
此处细节不了解的可见参考文献【9】，注意上式最右边的积分项 $-{\int }_{Z}q(Z)\log \frac{P(Z\mid X,\theta )}{q(Z)}dZ$ 这个其实就是$q(Z)$和$P(Z|X,\theta )$之间的相对熵Kullback-Leibler divergence (KL divergence)，记作：

$$D_{KL}(q(Z)\Vert P(Z\mid X,\theta ))={\int }_{Z}q(Z)\log \frac{q(Z)}{P(Z\mid X,\theta )}dZ$$

所以有

$$\log P(X\mid \theta )={\int }_{Z}q(Z)\log \frac{P(X,Z\mid \theta )}{q(Z)}dZ+D_{KL}(q(Z)\Vert P(Z\mid X,\theta ))$$

根据KL divergence的性质 $D_{KL}(q(Z)\Vert P(Z\mid X,\theta ))\ge 0$ 当且仅当 $q(Z)=P(Z\mid X,\theta )$取等号，因此有

$$\log P(X\mid \theta )\ge {\int }_{Z}q(Z)\log \frac{P(X,Z\mid \theta )}{q(Z)}dZ$$

因此便得到了$\log P(X\mid \theta )$的一个下界称为Evidence Lower Bound (ELBO)，后面就可以通过迭代的方式不断抬高ELBO使得$\log P(X\mid \theta )$增大。但目前还有一个问题，$q(Z)$是未知的下界还是没法求。我们可以直接在每一轮迭代时令 $q(Z)=P\left(Z\mid X,{\theta }^{(t)}\right)$，此时$D_{KL}\left(q(Z)\Vert P\left(Z\mid X,{\theta }^{(t)}\right)\right)=0$
,因为我们想要ELBO和$\log P(X\mid \theta )$的差距尽可能的小，这样抬高ELBO才会使得$\log P(X\mid \theta )$的增益更大，所以将KL这一项直接置为0是比较合理的，此时ELBO就变为：
$${\int }_{Z}P\left(Z\mid X,{\theta }^{(t)}\right)\log \frac{P(X,Z\mid \theta )}{P\left(Z\mid X,{\theta }^{(t)}\right)}dZ={\mathbb{E}}_{Z\mid X,{\theta }^{(t)}}\left[\log \frac{P(X,Z\mid \theta )}{P\left(Z\mid X,{\theta }^{(t)}\right)}\right]$$
展开有
$${\mathbb{E}}_{Z\mid X,{\theta }^{(t)}}\left[\log \frac{P(X,Z\mid \theta )}{P\left(Z\mid X,{\theta }^{(t)}\right)}\right]={\mathbb{E}}_{Z\mid X,{\theta }^{(t)}}[\log P(X,Z\mid \theta )]-{\mathbb{E}}_{Z\mid X,{\theta }^{(t)}}[\log P\left(Z\mid X,{\theta }^{(t)}\right]$$

因为我们最终的目标是求出某个$\hat{\theta }$ 使得ELBO最大，上式的第二项与$\theta$无关，可看成是一个常数，所以可以直接扔掉，则上式变为：

$${\mathbb{E}}_{Z\mid X,{\theta }^{(t)}}[\log P(X,Z\mid \theta )]$$

这样我们得到了EM算法E-step求期望的那个式子。紧接着就是求解$\theta$ ,使得该期望达到最大，即M-step
$${\theta }^{(t+1)}=\arg \underset{\theta }{\max }{\mathbb{E}}_{Z\mid X,{\theta }^{(t)}}[\log P(X,Z\mid \theta )]$$

以上便是EM算法的ELBO+KL形式的推导过程。

4.1 QA

  在上面的推到中得到ELBO之后，其实求解参数的问题就转化为使得ELBO最大的问题，参考文献【9】。

为什么要最大化ELBO，而不是直接最大化KL？
  因为ELBO没有大于等于0的保证，在kl最大化的同时，不能保证kl增加的幅度大于ELBO下降的幅度。

5 算法收敛性证明

6 参考文献

[1]Jensen不等式初步理解及证明
[2]联合概率、边缘概率、条件概率之间的关系&贝叶斯公式[3]凸函数
[4]原函数图像与导函数图像的关系探究
[5]人人都能看懂的EM算法推导
[6]机器学习-白板推导系列(十)-EM算法（Expectation Maximization）
[7]EM算法之KL散度和Jensen不等式
[8]关于KL散度（Kullback-Leibler Divergence）的笔记
[9]EM算法总结：从 ELBO + KL散度出发
[10]如何计算数学期望
[11]深入理解EM算法（ELBO+KL形式）