矩阵与向量

矩阵

由 m × n 个数$a_{ij}$排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。

可以看作是n个m维列向量从左到右并排摆放；行向量视角同理。

矩阵与向量

向量可以看作是一维矩阵：n维的列向量可以看作是一个n×1的矩阵。

矩阵乘以向量

首先，根据上面所述可知，这其实是满足矩阵间运算法则的，因此具体法则为：
$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n\end{array}\right]$$
从结果看，在指定矩阵的乘法作用下，原始空间中的向量被映射到了目标空间中。可见，从这个角度看，矩阵间乘法的意义其实是空间映射 。

变换“基底”

矩阵与向量的乘法，本质上可以看作是对向量"基底"的一种改变。
$$Ax=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a{x}_1+b{x}_2\\ c{x}_1+d{x}_2\end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$$
结合前面对”基底“的叙述发现，式子刚好就是把默认”基底“换成了ac和bd。

为什么”基底“要加双引号，因为不是每个矩阵都满足构成基底的条件。同样，改变基底的本质也是空间的映射。关键还是得从这个角度去理解。