基于内容的推荐算法

有5个电影，4个人对电影的评分，假设每部电影有2种特征量,即$x^{(i)}\in R^{(2)}$，如何估算出图中问号的值呢？
我们假设每个用户$j$有一个参数向量${\theta }^{(j)}$，在此例中${\theta }^{(j)}\in R^{(2)}$。用户的参数向量与电影的特证向量维度是相同的。那么与用户对每部电影的评分为：$({\theta }^{(j)}{)}^T{x}^{(i)}$。
例如第一个用户对第三部电影的预测评分为：

两个向量三维的原因是有一个偏置数，对结果影响不大，暂不考虑。
总结一下条件：

已知：每部电影的特征向量、用户对电影的评价、评分公式：$({\theta }^{(j)}{)}^T{x}^{(i)}$、求每个用户的参数向量：${\theta }^{(j)}$。
这就转化为线性回归问题：


最后再使用梯度下降算法或者其他算法求解，得到最终表达式：

在知道每部电影的特征向量，求解每个用户的参数向量，以上就是基于内容的推荐算法。

协同过滤算法

我们把上面的例子调整一下，假设我们不知道每部电影的特征向量，但是我们知道每个打分用户的参数向量${\theta }^{(j)}$。

这时候求解每部电影的特征向量$x^{(i)}$。
计算流程和上面基于内容的推荐算法相同，结果如下：

结合两个流程：

两个流程结合就出现这样的情况：先得到${\theta }^{(j)}$然后求解$x^{(i)}$，再求解${\theta }^{(j)}$，这样反复迭代，所以被称为协同过滤。
仔细看两个流程的最后结果的前半部分其实是同一个东西，所以可以得到最终的计算式：

协同过滤算法的总流程：

低秩矩阵分解

假设我们知道${\theta }^{(j)}$，$x^{(i)}$，怎么快速计算评分呢？

可以把得分矩阵进行分解：
$Y=x{\theta }^T$
如何找到两个相似的电影呢？

均值规范化

假设新加入第五用户，根据最下面的代价函数，此时新用户${\theta }^{(5)}$应该全是0，此时评分也全是0，这就没有意义了。
那么如何让新用户的0参数向量有意义呢？
使用均值归一化！

然后改变得分公式：
$$({\theta }^{(j)}{)}^T{x}^{(i)}+u$$
这样即使新用户的参数向量是0向量，它的评分结果也不会是0，而是每个电影的平均得分，这时候就变得有意义。