5.1 2D射影空间中的基本元素

5.2基本元素的2D射影变换

5.3变换的层次

• 等距变换：长度角度都不变，只包括旋转与平移，3个参数

• 相似变换：等距+等比例缩放，4个参数

• • 虚圆点：每个圆与无穷远线的交点，有两个，欧氏几何中两个正交方向(0,i,0)与(0,-i,0)合并到一个复共轭实体中：I=(1,0,0)+i(0,1,0)
  • 与虚圆点对偶的二次曲线：由两个虚圆点构成的退化的线的二次曲线

• • 虚圆点为不动点
• 仿射变换，6个参数（非各向同性缩放，缩放和旋转各需要2个参数）
  • 平行依旧平行
  • 无穷远点、无穷远线还是无穷远，无穷远点为不动点

• 射影变换
  • 共线依旧共线
  • 8个未知量
  • 无穷远的线变得有限远，允许观测到消失点、消失线
  • 交比不变

5.4 2D射影变换的应用

仿射矫正

射影->仿射

从射影空间中确定一条线为无穷远直线，就得到仿射空间

从射影空间恢复仿射度量，需要找到无穷远直线的位置

通过平行线的交点计算消失点，连接起来为消失线

• 在图像中找到无穷远直线
• 将无穷远直线变换到标准形式（1，1，0）

度量矫正

仿射->相似

需要增加约束：虚圆点确定的正交坐标系

3个点+2个虚圆点确定一个圆，5个点确定一个二次曲线

• 通过虚圆点确定对偶绝对二次曲线
• 变换到标准形式

图像拼接

（1） 基于特征点匹配的图像对齐：最近邻匹配

KD树：O(logN)，最大方差的维度进行分裂

哈希：局部敏感哈希：用多个哈希函数预处理数据点，使得距离近的点冲突的可能性大。查询时用哈希函数找到桶，再对桶中的点进行检索。

选择方法：特征数目N较小时暴力搜索，空间维度D较小时KD树，否则哈希

（2）2D射影变换参数求解：坐标归一的DLT（目标函数）、RANSAC（抗噪）

• 单应变换：2D射影变换
• 单应变换估计：将两幅图像中特征点对的坐标变成齐次坐标，之后找到两幅图像之间特征点对的最佳对应关系H，
• 直接线性变换DLT：需要4对以上的对应点，给定齐次坐标，计算H，只对线性变换有效
  • 计算矩阵A（A其实就是坐标x、y的组合，Ah=0，h是H中参数的组合，最小化||Ah||^2，约束||h||=1）
  • 计算A的特征值分解
  • 取A最小的特征值对应的特征向量h
  • 将h写成H的形式

• 单应估计不具有相似不变性，DLT无法抵抗相似变换的干扰，病态：分量幅度差异大，鲁棒性差
• 特征点坐标归一化的作用：保持齐次坐标的三个分量有相同的幅度，避免病态条件的产生
  • 计算一个平移和缩放的相似变换，使得归一化后的坐标原点在（0，0），所有点到原点的平均距离为√2
  • 在归一化的坐标系中，使用DLT计算H^~
  • 反归一化计算H

• RANSAC：随机采样一致性，从一组包含异常值的观测数据集中估计其数学模型参数的迭代方法，是一种不确定性算法，以一定的概率得出一个合理的结果，提高这个概率需要增加迭代次数。
  • 选择4个匹配的特征点对
  • 计算单应变换矩阵H
  • 计算内点：
  • 循环选择，记录最大内点的集合（选择内点数目最多的匹配方式）
  • 根据所有内点，采用最小二乘法计算H

（3）warp和拼接：了解即可

warping：变形，包括空间坐标变换与像素值赋值

反向变换更好