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1 前言

对于机器学习模型，评价模型的好坏是十分重要的一环，不同的任务对应的评估指标也有所差异，以更好的评价和比较模型的优劣。诸如分类（classification）、回归(regression)、排序(ranking)、聚类(clustering)、主题模型(topic modeling)等。本文则对不同场景的评估指标进行总结梳理¹。

碎碎语：最近书籍看的有点乱，各方面都在涉及，极大地分散了精力，导致对各方面了解的都不够细致，该理理头绪，排排顺序学习了

2 回归的评估指标

回归模型的输出是连续型的数值。常用的评估指标包括：

• 均方误差 ( MSE，Mean Squared Error)
• 均方根误差 (RMSE，Root Mean Squared Error)
• 平均绝对误差（MAE，Mean Absolute Error）
• 平均绝对百分比误差 (MAPE，Mean Absolute Percentage Error)
• 对称平均绝对百分比误差（SMAPE, Symmetric Mean Absolute Percentage Error）
• 决定系数，R平方（R², Coefficient of Determination）
• 调整后的R² (Adjusted R²)
• 平均平方对数误差 ( MSLE，Mean Squared Logarithmic Error)
• 均方根对数误差 (RMSLE，Root Mean Squared Logarithmic Error)
• 最大误差 (Max Error)
• 中位数绝对误差 (Median Absolute Error, MedAE)

2.1 均方误差 ( MSE，Mean Squared Error)

均方误差：计算模型预测值与真实值之间差异的平方的平均值。
$$MSE=\frac{\sum (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{n}$$
其中，$y_i$是第i个样本的真实值，${\hat{y}}_i$是第i个样本的预测值，n是样本的个数。

优点：

• 容易计算和理解
• 对大误差更加敏感，适合希望模型对异常值敏感的情况。

缺点：

• 量纲与原始数据不同，不便于解释
• 容易受到离群值的影响，对异常值敏感

2.2 均方根误差（RMSE，Root Mean Square Error）

均方根误差：计算所有的预测值与真实值偏差的平方之和的均值，再求平方根，即均方误差的平方根。
$$RMSE=\sqrt{MSE}=\sqrt{\frac{\sum (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{n}}$$
其中，$y_i$是第i个样本的真实值，${\hat{y}}_i$是第i个样本的预测值，n是样本的个数。

优点：与MSE相比，RMSE具有与原始数据相同的单位，因此更容易解释。
缺点：容易受到离群值的影响，对异常值比较敏感。

2.3 平均绝对误差（MAE，Mean Absolute Error）

平均绝对误差：计算预测值与真实值之间差异的绝对值的平均值。
$$MAE=\frac{\sum (|(y_i-{\hat{y}}_i)|)}{n}$$

优点：

• 对离群值的敏感度较低，更为稳健，适用于噪声较大的数据集
• 量纲与原始数据一致，便于解释。

缺点：

• MAE在优化时的梯度信息不如MSE明确，可能导致收敛速度较慢。
• 不惩罚大误差，适合误差分布较为均匀的情况。

2.4 平均绝对百分比误差 (MAPE，Mean Absolute Percentage Error)

平均绝对百分比误差：预测值与实际值之间的绝对误差相对于实际值的百分比。
$$MAPE=\frac{\sum |\frac{(y_i-{\hat{y}}_i)}{y_i}|}{n}\ast 100$$

优点：无量纲，便于跨数据集比较。
缺点：

• 当实际值接近零时，MAPE 会变得非常大，数值不稳定。
• 不适用于实际值为零或接近零的情况。

2.5 对称平均绝对百分比误差（SMAPE, Symmetric Mean Absolute Percentage Error）

对称平均绝对百分比误差：SMAPE 是对MAPE的改进，避免了对实际值接近零时的不稳定性。
$$SMAPE=\frac{1}{n}\sum \frac{|y_i-{\hat{y}}_i|}{(|y_i|+|{\hat{y}}_i|)/2}\ast 100$$

优点：对实际值接近零的情况更加稳健。
缺点：计算较为复杂。

2.6 R平方（R², Coefficient of Determination）

R平方（R²）：表示模型解释的方差占总方差的比例，取值范围在0到1之间。R² 越接近1，模型的解释能力越强。
$$R^2=1-\frac{\sum (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{\sum (y_i-\bar{y}{)}^2}$$

优点：易于解释，表示模型对数据的拟合程度。
缺点：

• 当新特征加入时，R² 可能不会下降，甚至可能增加，即使这些特征对模型没有帮助。
• 对于数据量较小的样本，R² 可能不稳定。

2.7 调整后的R平方（Adjusted R²）

调整后的R平方（Adjusted R²）：调整后的R² 考虑了模型中特征的数量，避免盲目增加特征导致R² 虚高。
$$Adjusted{R}^2=1-\frac{(1-R^2)(n-1)}{n-k-1}$$

优点：能够避免过拟合，对于特征多的模型更加公平。
缺点：计算相对复杂。

2.8 平均平方对数误差 ( MSLE，Mean Squared Logarithmic Error)

平均平方对数误差 ：对输出取对数后的均方误差。

优点：

• 适用于目标值范围跨度大的情况。
• 减少大误差的影响。

缺点：目标值需要为正数。

2.9 均方根对数误差 (RMSLE，Root Mean Squared Logarithmic Error)

均方根对数误差：MSLE的平方根。

优点：单位与对数变换后的单位一致，可能更直观。
缺点：同MSLE，目标值需为正数。

2.10 最大误差 (Max Error)

最大误差 (Max Error)：所有样本中最大的预测误差。

优点：直观反映模型可能犯下的最大错误。
缺点：只关注最坏情况，可能不反映整体性能。

2.11 中位数绝对误差 (Median Absolute Error, MedAE)

中位数绝对误差 (Median Absolute Error, MedAE)：测误差的中位数绝对值。

优点：对异常值不敏感，因为使用中位数。
缺点：不如均值敏感，可能无法反映整体误差。

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3 分类的评估指标

分类模型的输出是离散的标签。常用的评估指标包括：

• 准确率（Accuracy）
• 平均类准确率（Per-class Accuracy）
• 精确率（Precision）
• 召回率（Recall）
• 平均类精确率、平均类召回率
• F1值（F1-Score）
• 混淆矩阵（Confusion Matrix）
• ROC曲线（Receiver Operating Characteristic Curve）
• AUC（Area under the Curve）
• 对数损失（Log Loss） / 交叉熵损失（Cross-Entropy Loss）
• 马修斯相关系数（Matthews Correlation Coefficient, MCC）

3.1 准确率（Accuracy）

准确率：模型预测分类正确的样本个数占总样本数的比例。
$$准确率=\frac{正确分类的样本个数}{总样本数}=\frac{TP+TN}{TP+TN+FP+FN}$$

优点：简单易懂，适用于类别分布均衡的场景。
缺点：当类别分布不均衡时，可能会产生误导（例如，少数类样本被忽略）。

3.2 平均类准确率（Per-class Accuracy）

平均类准确率：准确率的一个变形，指每个类别下的准确率，然后再计算它们的平均值。

• 准确率是宏观平均
• 平均类准确率则是一个微观的平均。

备注：

• 当某一个类别下的类别远多于另外的类别，准确率会给出一个扭曲的结果；
• 当某个类别的样本个数很少，那么造成该类的准确率的方差过大，该类的准确率的可靠性则要比其他类要差。

宏平均适用于类别分布均衡的场景，微平均适用于类别分布不均衡的场景。

3.3 精确率（Precision）

精确率：在模型预测为正类的样本中，实际为正类的比例。
$$Precision=\frac{TP}{TP+FP}$$

优点：关注模型预测的“准确性”，适用于需要减少误报的场景（如垃圾邮件检测）。
缺点：忽略了未被预测为正类的样本，可能低估了模型的性能。

3.4 召回率（Recall） / 真阳性率（True Positive Rate, TPR）

召回率：在实际为正类的样本中，模型正确预测为正类的比例。
$$Recall=\frac{TP}{TP+FN}$$

优点：关注模型的“覆盖率”，适用于需要减少漏报的场景（如癌症检测）。
缺点：忽略了误报的情况，可能导致模型过于宽松。

3.5 平均类精确率、平均类召回率

平均类精确率、平均类召回率 和 精确率、召回率的关系，这一点和准确率和平均类准确率类似。

3.6 F1值（F1-Score）

F1值：精确率和召回率的调和平均值，综合考虑了模型的准确性和覆盖率。
$$F1=2\times \frac{精确率\times 召回率}{精确率+召回率}$$

优点：适用于类别分布不均衡的场景，尤其需要平衡精确率和召回率时。
缺点：仅考虑了正类的情况，未考虑负类的影响。

3.7 混淆矩阵

混淆矩阵：一个 n×n的矩阵，用于展示模型的分类结果。

• TP（True Positive）: 正类样本被正确分类。
• FP（False Positive）: 负类样本被错误分类为正类。
• FN（False Negative）: 正类样本被错误分类为负类。
• TN（True Negative）: 负类样本被正确分类。

优点：全面展示模型的分类结果，便于分析误差类型。
缺点：计算和解释相对复杂。

3.8 ROC曲线（Receiver Operating Characteristic Curve）

ROC曲线：ROC曲线是描述分类模型在不同阈值下，真阳性率（TPR）和假阳性率（FPR）的关系曲线。

• TPR（True Positive Rate）: 同召回率。
• FPR（False Positive Rate）:$FPR=\frac{FP}{FP+TN}$

优点：适用于类别分布不均衡的场景，能直观展示模型的分类能力。
缺点：需要手动选择分类阈值，计算较为复杂。

3.9 AUC（Area Under Curve）

AUC：AUC是ROC曲线下的面积，取值范围为0到1。AUC越大，模型的分类性能越好。

优点：对类别分布不敏感，适用于评估不同模型的整体性能。
缺点：无法直接反映精确率或召回率的具体数值。

3.10 对数损失（Log Loss）

对数损失：衡量模型预测概率分布与真实分布的差异。
$$LogLoss=-\frac{1}{N}\sum [y_i\log ({\hat{y}}_i)+(1-y_i)\log (1-{\hat{y}}_i)]$$

优点：适用于概率输出模型，能反映模型的预测不确定性。
缺点：对分类错误非常敏感，数值范围较大，不易直观解释。

3.11 马修斯相关系数（Matthews Correlation Coefficient, MCC）

马修斯相关系数：考虑所有类别的分类性能，取值范围为-1到1，1表示完美的分类性能。
$$MCC=\frac{TP\times TN-FP\times FN}{\sqrt{(TP+FP)(TP+FN)(TN+FP)(TN+FN)}}$$

优点：适用于类别分布不均衡的场景。
缺点：计算较为复杂。

4 总结

4.1 回归指标总结

指标	适用场景	优点	缺点
均方误差 (MSE)	数据中异常值较少	对异常值敏感，能够突出大误差的影响	单位是原始单位的平方，不直观
均方根误差 (RMSE)	数据中异常值较少	单位与原始数据单位一致，更直观	对异常值敏感
平均绝对误差 (MAE)	数据中有较多异常值	不对异常值敏感，更稳健	对于小误差和大误差的处理方式相同，可能无法突出大误差的影响
平均绝对百分比误差 (MAPE)	需要百分比误差的情况	以百分比表示，便于比较不同规模的数据	当真实值接近零时，分母很小，可能引起数值不稳定或无穷大；不适用于分母为零的情况
R² (R-squared)	衡量模型解释的方差比例	取值范围从负无穷到1，1表示完美拟合；可以比较不同模型对数据的解释能力	可能会出现负值，表示模型比均值还要差；容易高估模型性能，尤其是特征较多时
调整R² (Adjusted R²)	考虑模型复杂度	避免模型因增加特征而过度优化R²	仍可能受到过拟合的影响
平均平方对数误差 (MSLE)	目标值范围跨度大且为正数	适用于目标值范围跨度大的情况；减少大误差的影响	目标值需要为正数
均方根对数误差 (RMSLE)	目标值范围跨度大且为正数	单位与对数变换后的单位一致，可能更直观	目标值需要为正数
最大误差 (Max Error)	关注最坏情况的误差	直观反映模型可能犯下的最大错误	只关注最坏情况，可能不反映整体性能
中位数绝对误差 (MedAE)	需要稳健性的情况	对异常值不敏感，因为使用中位数	不如均值敏感，可能无法反映整体误差

4.2 分类指标总结

指标	适用场景	优点	缺点
Accuracy	类别分布均衡	简单易懂	类别分布不均衡时可能误导
Precision	误报成本高（如垃圾邮件检测）	关注预测的准确性	忽略漏报
Recall	漏报成本高（如疾病检测）	关注模型的覆盖率	忽略误报
F1-Score	需要平衡精确率和召回率	综合考虑精确率和召回率	未考虑负类的影响
ROC曲线 & AUC	类别分布不均衡	直观展示模型性能	计算复杂
Log Loss	概率输出模型	能反映预测不确定性	数值范围大，不易直观解释
混淆矩阵	需要详细分析误差	全面展示分类结果	计算和解释复杂
MCC	类别分布不均衡	考虑所有类别的分类性能	计算复杂

参考学习

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1. 《评估机器学习的模型》，Alice Zheng，张建译， ISBN：9781491932469 ↩︎