特征值和特征向量

特征值和特征向量的定义如下：

$$Ax=\lambda x$$

其中$A$是一个$n\times n$的实对称矩阵，$x$是一个$n$维向量，则我们说$\lambda$是矩阵$A$的一个特征值，而$x$是矩阵$A$的特征值$\lambda$所对应的特征向量。

特征值和特征向量的好处：

我们可以将矩阵$A$特征分解。如果我们求出了矩阵$A$的$n$个特征值${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le ...\le {\lambda }_n$，以及这$n$个特征值所对应的特征向量$w_1,w_2,...w_n$，如果这$n$个特征向量线性无关，那么矩阵$A$就可以用下式的特征分解表示：

$$A=W\Sigma W^{-1}$$

其中$W$是这$n$个特征向量所组成的$n\times n$维矩阵，而$\Sigma$为这$n$个特征值为主对角线的$n\times n$维矩阵。

一般我们会把$W$的这$n$个特征向量标准化，即满足$||w_i|{|}_2=1$，或者说$w_i^T{w}_i=1$，此时$W$的$n$个特征向量为标准正交基，满足$W^{T}W=I$，即$W^T=W^{-1}$，也就是说$w$为酉矩阵。

这样我们就可以将特征分解表达式写成：

$$A=W\Sigma W^T$$

注意到要进行特征分解，矩阵$A$必须为方阵。那么如果$A$不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？

当然是可以的，SVD就是这样的。

SVD的定义

SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵$A$是一个$m\times n$的矩阵，那么我们定义矩阵$A$的SVD为：

$$A=U\Sigma V^T$$

其中$U$是一个$m\times m$的矩阵，$\Sigma$是一个$m\times m$的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，$V$是一个$n\times n$的矩阵。$U$和$V$都是酉矩阵，即满足$W^{T}W=I$，$V^{T}V=I$。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

那么我们如何求出SVD分解后的$U,\Sigma ,V$这三个矩阵呢？

如果我们将$A$的转置和$A$做矩阵乘法，那么会得到$n\times n$的一个方阵$A^{T}A$。既然$A^{T}A$是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

$$(A^{T}A)v_i={\lambda }_i{v}_i$$

这样我们就可以得到矩阵$A^{T}A$的$n$个特征值和对应的$n$个特征向量$v$了。将$A^{T}A$的所有特征向量组成一个$n\times n$的矩阵$V$，就是我们SVD公式里的$V$矩阵了。一般我们将$V$中的每个特征向量叫做$A$的右奇异向量。

如果我们将$A$和$A$的转置做矩阵乘法，那么会得到$m\times m$的一个方阵$A{A}^T$。既然$A{A}^T$是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

$$(A{A}^T)u_i={\lambda }_i{u}_i$$

这样我们就可以得到矩阵$A{A}^T$的$m$个特征值和对应的$m$个特征向量$u$了。将$A{A}^T$的所有特征向量组成一个$m\times m$的矩阵$U$，就是我们SVD公式里面的$U$矩阵了。一般我们将$U$中的每个特征向量叫做$A$的左奇异向量。

$U$和$V$我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵$\Sigma$没有求出来了。由于$\Sigma$除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那么我们只需要求出每个奇异值$\sigma$就可以了。

我们注意到：

$$A=U\Sigma V^T\Rightarrow AV=U\Sigma V^{T}V\Rightarrow AV=U\Sigma \Rightarrow A{v}_i={\sigma }_i{u}_i\Rightarrow {\sigma }_i=\frac{A{v}_i}{u_i}$$

这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵$\Sigma$。

SVD计算举例

SVD的一些性质

对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：

$$A_{m\times n}=U_{m\times m}{\Sigma }_{m\times n}{V}_{n\times n}^T\approx U_{m\times k}{\Sigma }_{k\times k}{V}_{k\times n}^T$$

其中$k$要比$n$小很多，也就是一个大的矩阵$A$可以用三个小的矩阵$U_{m\times k},{\Sigma }_{k\times k},V_{k\times n}^T$来表示。如下图所示，现在我们的矩阵$A$只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。

由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。

SVD小结

SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。SVD的原理不难，只要有基本的线性代数知识就可以理解，实现也很简单因此值得仔细的研究。当然，SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用。