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一、方阵的特征值和特征向量

行列式 是个标量，是个关于变量 这里 是个方阵，代入具体某个特征值

问题思考：

某个特征值

问特征值 ，也就是线性方程 每一个特征值，都对应一个特征空间（eigenspace——

探索

• 对于n维单位矩阵
  ，我们知道任何一个向量x，有
  。所以对于单位矩阵，对应于特征值1的eigenspace——
  的维数是n。
• 单位矩阵是eigenspace正好等于n，一般的对角矩阵是怎样?
  ，对于特征值2，它的特征向量是
  ，a、b可以是任意取值(可以相等，可以不相等，但不能同时为0)值，所以特征值2的特征空间为2维，它的eigenspace——
  的基为
  和
  。对于特征值4，它的特征向量是
  ，eigenspace——
  维数为1，基为
  。所以两个eigenspace——
  和
  一共是2+1=3维，恰好等于n，而且我们发现
  不同特征值的eigenspace是线性无关的(因为如果不是线性无关的，那么该特征向量会同时是两个特征值的，所以只能是线性无关)。
• 以上可看出对角矩阵的所有eigenspace的维数加起来等于
  。假设A的特征值
  的eigenspace——
  有
  维(可能
  ，可能
  )，
  的eigenspace——
  有
  维(可能
  ，可能
  )，以此类推。再假设所有r个eigenspace合起来有n维，也就是
  。所有r个eigenspace合起来一共n维的空间中，任选一组基
  ， 显然
  到
  都是
  的列向量。由于
  ，重新写为
  其中
  可能为0，可能不为0。令
  (n阶方阵)，重写上式
  。因为
  中的列向量都是线性无关的，也就是n阶方阵P的秩rank(P)=n，所以A矩阵可以通过
  进行相似对角化。显然如果
  ，而是
  ，那么P矩阵就是
  的矩阵，P不再是n阶方阵，rank(P)=
  ，所以矩阵P不可逆，也就无法通过
  对A矩阵进行相似对角化。
• 因此只有当所有特征值对应的特征空间(不同的特征值，对应的特征向量一定线性不相关)合起来的维数为n时，才可以相似对角化。而且我们从上面可知，不同的
  的书写顺序，对应的对角矩阵里面
  的顺序也不同。
• 我们知道
  ，
  。多项式
  中，
  的次数为
  次(又叫做
  特征值
  的代数重数
  Algebraic multiplicity，因为它是代数多项式中
  的次数)，
  有
  次，以此类推。假设
  的eigenspace——
  的维数
  (又叫做
  特征值
  的几何重数
  Geometric multiplicity，因为它是几何空间中向量的维数)，那么问题来了，特征值
  的代数重数是否等于它的几何重数？答案是代数重数
  几何重数，即
  。例如：
  特征值为2，
  。
  ，所以
  的维数为
  (多项式的
  的次数) 。
• 既然
  ，所以
  。因为
  ，也就是所有特征值对应的eigenspace合起来的
  个基向量组成的矩阵
  ，不是方阵，所以无法有
  ，也就是无法通过有
  进行相似对角化。Jordan Canonical Form Theorem告诉我们是由于r个特征空间维数的和
  ，无法相似对角化，但是我们可以
  退而求其次，可以将A矩阵相似变换成m个Jordan block(约当块)的对角形式：
  ，其中第i
  个约当块为
  。那么问题来了，把n阶方阵A相似变换成约当块对角型
  的n阶
  长什么样？除了r个特征值对应的
  个基向量，剩下的
  个列向量是什么？
• 可进行相似对角化的矩阵A，它对角化后
  的每个对角元
  都对应
  矩阵的某个特征值的eigenspace中的一个基向量(当然了，基向量组又可以自己去选)，特征值
  就对应P矩阵的
  个基，特征值
  就对应P矩阵的
  个基，以此类推。那么对于不可相似对角化而只能相似约当块对角化
  的矩阵A，
  每个Jordan block也对应某个特征值的eigenspace中的一个基向量，所以如果特征值
  的eigenspace有3维，那么
  就对应3个Jordan block。所以如果把n阶方阵A相似变换成约当块对角型
  的约当块的个数一共为
  ，也就是所有eigenspace合起来的维数
  ，注意这里m并不等于特征值的个数
  ，也不是
  。
• 假设特征值
  的eigenspace——
  有
  2维，就对应有
  2个约当块
  ，那么
  的第一个约当块是
  ，size=3。还是
  ，size=2。还是
  ，size=1？或者是其他的size呢？怎么算出它的size呢？
  的第二个约当块
  又是什么size呢，又怎么算出它的size呢？不过有一点我们可以推断的是，由于A与
  相似，所以
  ，
  所以特征值
  的
  (几何重数) 个约当块的size之和一定等于
  (代数重数) ，
  也就是
  的次数。我们在这里理清了几何重数与代数重数的关系。显然如果特征值
  的约当块全是size=1的，那么特征值
  的
  代数重数=几何重数。只要特征值
  有一个约当块的size
  2，那么特征值
  的 代数重数
  几何重数。如果约当块全是size=1的，那么特征值
  的 代数重数=几何重数。
• 我们知道
  ，由于
  其中*代表可能为0或者1。假设特征值
  的代数重数为11，那么
  的对角线上有11个0；特征值
  的几何重数为5，所以对应有5个约当块，这5个约当块加起来的size等于
  对角线上0的个数=11。
  =5 (也就是几何重数)，说明有5个至少size为1的约当块；
  =9，说明有9-5=4个至少size为2的约当块；
  =11，说明有（11-9）个至少size为3的约当块。由于
  恰好等于代数重数11，到头了，说明特征值
  没有比3更大size的约当块，说明特征值
  对应的5个约当块中最大的size为3。所以size为3的约当块有11-9=2个，size为2的约当块有(9-5)-(11-9)=2个，size为1的约当块为5-(9-5)=1个。2+2+1=5个约当块，也就是特征值
  的几何重数为5。
• 另一个角度，任取某个特征值
  的eigenspace的某个基
  ，那么我们有
  。如果能找到
  使得
  有解，也就是
  的解，也就是线性齐次方程
  的解至少有1维，也就是
  的零空间维数
  至少为1，说明对应于
  的Jordan block的size至少为2；如果进一步，能找到
  使得
  ，也就是
  的零空间维数
  至少为1维，那么对应
  的Jordan block的size至少为3，一直这么找下去，直到找不到变量满足为止。如果最大size的Jordan block为
  ，我们设它对应的最底层的变量为u，也就是找不到下一个变量
  满足
  ，我们往上推。因为u是由
  一级一级推过来的，重写成
  ,一直到
  。因为
  是
  的eigenspace的某个基，所以
  ，由
  ，我们有
  。
• 假设A矩阵有两个特征值
  和
  。对于特征值
  ，假设
  的解有2维，也就是
  的eigenspace有2维，所以对应
  的Jordan block一共有2个。任意选取
  eigenspace的一组基
  、
  。假设对于
  的Jordan block的size为3，也就是能找到
  ，却无法找到
  满足
  ，所以
  ，也就是
  对于
  的Jordan block的size为 1，也就是无法找到
  满足
  ，
  。对于特征值
  ，假设
  的解只有1维，也就是
  的eigenspace有1维，所以对应
  的Jordan block只有1个。任意选取
  eigenspace的基
  ，假设对于
  我们发现Jordan block的size为2，也就是能找到
  满足
  ，却无法找到
  满足
  ，所以
  ，
  最后我们有使得A矩阵约当块对角化的P矩阵：
  这样我们就找到了P阵。类似，我们可以把P矩阵里的向量进行别的排序。
  叫做
  的特征向量
  的广义特征向量，
  的广义特征空间维数是2。
  叫做
  的特征向量
  的广义特征向量，
  的广义特征空间维数是1。
• 之所以称
  为
  的特征向量，而
  为
  的广义特征向量，不是特征向量，是因为
  由
  ，加上
  ，我们代入到
  ，我们有
  。
• 特别补充：如果实矩阵
  有复数根，由于A是实数矩阵，所以多项式
  复数的根永远会成对出现，相应地特征向量也是成对出现。假设复数根为
  (注意a,b是标量常数)，它特征空间假设只有1维(几何空间)，对应的jordan block只有一个，取特征向量为
  (注意
  )。
• 假设
  广义特征向量为两维，对应的2+4i的jordan block为
  。

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所以最后总结回答问题：每一个特征值，都对应一个eigenspace，那么A的所有特征空间(eigenspace)的维数加起来是不是恰好等于n？A的所有eigenspace会不会小于n？

答案：1. 对于可对角化的n维方阵矩阵A，当它有0特征值时，如果0特征值的eigenspace维数=a，那么它的所有非零特征值的eigenspace合起来的维数=n-a。A的所有eigenspace的维数是a+n-a=n，恰好等于n。

2. 对于只能约当块对角化的n维方阵A，当它有0特征值时，如果0特征值的Jordan block有a个，也就是0特征值的eigenspace的维数为a，0特征值的a个Jordan block广义特征向量的维数加起来为b，其他各个非零特征值的eigenspace维数加起来为c，这c个Jordan block的广义特征空间的维数加起来为d，这时a+b+c+d=n，A的所有eigenspace的维数是a+c<n。