人工势场法是局部路径规划的一种比较常用的方法。这种方法假设机器人在一种虚拟力场下运动。

1. 简介

如图所示，机器人在一个二维环境下运动，图中指出了机器人，障碍和目标之间的相对位置。 

这个图比较清晰的说明了人工势场法的作用，物体的初始点在一个较高的“山头”上，要到达的目标点在“山脚”下，这就形成了一种势场，物体在这种势的引导下，避开障碍物，到达目标点。

人工势场包括引力场合斥力场，其中目标点对物体产生引力，引导物体朝向其运动（这一点有点类似于A*算法中的启发函数h）。障碍物对物体产生斥力，避免物体与之发生碰撞。物体在路径上每一点所受的合力等于这一点所有斥力和引力的和。这里的关键是如何构建引力场和斥力场。下面我们分别讨论一下：

1.1. 引力场

常用的引力函数：

U_{\mathrm{att}}(\mathbf{q})=\frac{1}{2}\xi\rho^{2}(\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathrm{goal}}) (1)

这里的ε是尺度因子，\rho(q,q_{goal})表示物体当前状态与目标的距离。引力场有了，那么引力就是引力场对距离的导数（类比物理里面W=FX）：

\mathbf{F}_{\mathrm{att}}(\mathbf{q})=-\nabla U_{\mathrm{att}}(\mathbf{q})=\xi(\mathbf{q}_{\mathrm{goal}}-\mathbf{q})(2)

引力场模型

1.2. 斥力场

\left.U_{\mathrm{rep}}(\mathbf{q})=\left\{ \begin{array} {ll}\frac{1}{2}\eta\left(\frac{1}{\rho(\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathrm{obs}})}-\frac{1}{\rho_{0}}\right)^{2}, & \quad\mathrm{if}\rho(\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathrm{obs}})\leq\rho_{0} \\ 0, & \mathrm{if}\rho(\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathrm{obs}})>\rho_{0t} \end{array}\right.\right. (3)

公式 (3) 是传统的斥力场公式。公式中η是斥力尺度因子，\rho(q,q_{obs})代表物体和障碍物之间的距离。\rho_0代表每个障碍物的影响半径。换言之，离开一定的距离，障碍物就对物体没有斥力影响。

斥力就是斥力场的梯度

斥力场模型

总的场就是斥力场合引力场的叠加，也就是U=U_{att}+U_{rep}，总的力也是对对应的分力的叠加，如下图所示：

2. 存在的问题

  • 当物体离目标点比较远时，引力将变的特别大，相对较小的斥力在甚至可以忽略的情况下，物体路径上可能会碰到障碍物
  • 当目标点附近有障碍物时，斥力将非常大，引力相对较小，物体很难到达目标点
  • 在某个点，引力和斥力刚好大小相等，方向想反，则物体容易陷入局部最优解或震荡

3. 各种改进版本的人工势场法

  • 对于可能会碰到障碍物的问题，可以通过修正引力函数来解决，避免由于离目标点太远导致引力过大

和 (1) 式相比，(5) 式增加了范围限定。d^*_{goal }给定了一个阈值限定了目标和物体之间的距离。对应的梯度也就是引力相应变成：

  • 目标点附近有障碍物导致目标不可达的问题，引入一种新的斥力函数

这里在原有斥力场的基础上，加上了目标和物体距离的影响（n是正数，我看到有篇文献上n=2）。直观上来说，物体靠近目标时，虽然斥力场要增大，但是距离在减少，所以在一定程度上可以起到对斥力场的拖拽作用

相应斥力变成：

\begin{aligned} \mathbf{F}_{rep}(\mathbf{q}) & =-\nabla U_{\mathrm{rep}}(\mathbf{q}) \\ & \left.=\left\{ \begin{array} {ll}F_{\mathrm{rep}1}\mathbf{n}_{OR}+F_{\mathrm{rep}2}\mathbf{n}_{RG}, & \quad\mathrm{if}\rho(\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathrm{obs}})\leq\rho_{0} \\ 0, & \quad\mathrm{if}\rho(\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathrm{obs}})>\rho_{0} \end{array}\right.\right. (8) \\ \mathrm{where} \\ & F_{\mathrm{rep}1} =\eta\left(\frac{1}{\rho(\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathrm{obs}})}-\frac{1}{\rho_{0}}\right)\frac{\rho^{n}(\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathrm{goal}})}{\rho^{2}(\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathrm{obs}})} \\ & F_{\mathrm{rep}2} =\frac{n}{2}\eta\left(\frac{1}{\rho(\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathrm{obs}})}-\frac{1}{\rho_{0}}\right)^{2}\rho^{n-1}(\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathrm{goal}}) \end{aligned}

所以可以看到这里引力分为两个部分，编程时要格外注意

  • 局部最优问题是一个人工势场法的一个大问题，这里可以通过加一个随机扰动，让物体跳出局部最优值。类似于梯度下降法局部最优值的解决方案。

参考文献

路径规划算法初探_森林宝贝的博客-CSDN博客_局部路径规划算法

Artificial Potential Field Approach and its Problems - General Discussions - RobotShop Community

解决人工势场法局部极小问题的一种新方法 - 道客巴巴

matlab改进人工势场法模拟机器人路径规划，避障_人工势场法改进领航跟随法的控制算法实现-Matlab文档类资源-CSDN下载

http://www.cs.cmu.edu/~motionplanning/lecture/Chap4-Potential-Field_howie.pdf

帮忙分析一下人工势场法的局部路径规划程序 – MATLAB中文论坛

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