面板数据变系数模型

前言：在这一篇文章中，我们将某些影响因素的作用范围扩大，这些因素不仅影响截距项的变动，而且也能影响到斜率项。因素的作用范围就可能有一下几种组合，单独影响截距，单独影响斜率，既影响截距又影响斜率，既不影响截距也不影响斜率（随机效应）。因素又区分为两类，时间因素与个体特质因素。推荐先阅读数据分析-面板数据变截距模型 再阅读本文。

为了方便理解，我们将包含个体特质与时间因素的面板回归方程拆写为：
$Y_{it}={\alpha }_0+{\alpha }_i+{\lambda }_0+{\lambda }_t+X_{it}^{\prime }{\beta }_i+X_{it}^{\prime }{\beta }_t+X_{it}^{\prime }{\beta }_c+{\epsilon }_{it}$
$\beta ={\beta }_i+{\beta }_t+{\beta }_c$
$,i=1,2,3,...,N;t=1,2,3,...,T$
当然这里的${\beta }_t与{\beta }_i$也可以像拆分 $\alpha 和\lambda$一样，拆分出均值和差异项

固定系数模型

模型

以截距项为个体固定效应，系数为个体固定效应：
$Y_{it}={\alpha }_0+{\alpha }_i+X_{it}^{\prime }{\beta }_i+X_{it}^{\prime }{\beta }_c+{\epsilon }_{it}$
以截距项为个体固定效应，系数为时间固定效应：
$Y_{it}={\alpha }_0+{\alpha }_i+X_{it}^{\prime }{\beta }_t+X_{it}^{\prime }{\beta }_c+{\epsilon }_{it}$

• 以截距项为个体固定效应，系数为个体固定效应，仅考虑第3个参数随个体变化，举例理解：
  $Y_{it}={\alpha }_0+{\alpha }_i+{\beta }_1{x}_{1it}+{\beta }_2{x}_{2it}+{\beta }_{3i}{x}_{3it}+{\epsilon }_{it}$
  其中$x_{1it}表示第i个个体在t时刻的第1个变量值，{\beta }_1表示第1个变量前的参数$
  其中$x_{2it}表示第i个个体在t时刻的第2个变量值，{\beta }_2表示第2个变量前的参数$
  其中$x_{3it}表示第i个个体在t时刻的第3个变量值，{\beta }_{3i}表示依赖于第i个个体特质(第i个个体特质是个体分类的类别，表示个体差异影响x_3的斜率)、第3个变量前的参数$

• 以截距项为个体固定效应，系数为时间固定效应，仅考虑第3个参数随时间变化，举例理解：
  $Y_{it}={\alpha }_0+{\alpha }_i+{\beta }_1{x}_{1it}+{\beta }_2{x}_{2it}+{\beta }_{3t}{x}_{3it}+{\epsilon }_{it}$
  其中$x_{1it}表示第i个个体在t时刻的第1个变量值，{\beta }_1表示第1个变量前的参数$
  其中$x_{2it}表示第i个个体在t时刻的第2个变量值，{\beta }_2表示第2个变量前的参数$
  其中$x_{3it}表示第i个个体在t时刻的第3个变量值，{\beta }_{3t}表示依赖于第t个时段特质(第t个时段是依据时间段分类的类别，表示时间段变动影响x_3的斜率)、第3个变量前的参数$

估计方法

• 最小二乘虚拟变量法（LSDV）
  引入虚拟变量进行回归
  举例，以截距项为个体固定效应，系数为个体固定效应：
  考虑${\beta }_2与{\beta }_3$受到性别的影响
  $Y_{it}={\alpha }_0+{\alpha }_i+{\beta }_1{x}_{1it}+{\beta }_{2i}{x}_{2it}+{\beta }_{3i}{x}_{3it}+{\epsilon }_{it}$
  $={\alpha }_0+{\alpha }_i+{\beta }_1{x}_{1it}+({\beta }_2{x}_{2it}+{\gamma }_1{x}_{2it}\ast D_1+{\gamma }_2{x}_{2it}\ast D_2)+({\beta }_3{x}_{3it}+{\eta }_1{x}_{3it}\ast D_1+{\eta }_2{x}_{3it}\ast D_2)+{\epsilon }_{it}$
  $={\alpha }_0+{\alpha }_i+{\beta }_1{x}_{1it}+({\gamma }_3{x}_{2it}\ast D_3+{\gamma }_1{x}_{2it}\ast D_1+{\gamma }_2{x}_{2it}\ast D_2)+({\eta }_3{x}_{3it}\ast D_3+{\eta }_1{x}_{3it}\ast D_1+{\eta }_2{x}_{3it}\ast D_2)+{\epsilon }_{it}$
  设置虚拟变量：
  $D_1=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }第i个个体性别为男性\\ 0& \text{if }第i个个体性别为其他\end{array}$
  $D_2=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }第i个个体性别为女性\\ 0& \text{if }第i个个体性别为其他\end{array}$
  $D_3=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }第i个个体性别为中性\\ 0& \text{if }第i个个体性别为其他\end{array}$
  注意：这里引入m-1个虚拟变量与m个虚拟变量的两种方式等价。

随机系数模型

这个模型是有局限性的：模型多多少少会忽略一些解释变量，因此会导致截距项与解释变量相关。所以说模型设置为个体固定效应的模型很正常。随机变系数效应模型的截距项也应该是随机的，截距项如果不是随机的最好不要用随机变系数效应模型。
模型举例：
Swamy随机模型：
$Y_i=X_i\widetilde{{\beta }_i}+{\epsilon }_i,i=1,2,...,N$
$\widetilde{{\beta }_i}={\beta }_0+{\beta }_i$
$E({\beta }_i)=0_{k\ast 1},$

$E({\beta }_i{\beta }_j^{\prime })=\{\begin{array}{ll}{\Delta }_i& i=j\\ 0& i\ne j\end{array}$;

$E(X_{it}^{\prime }{\beta }_i)=0$;

$E({\epsilon }_i{\epsilon }_j^{\prime })=\{\begin{array}{ll}{\sigma }_i& i=j\\ 0& i\ne j\end{array}$;

模型设定检验

由于我们不知道模型中哪些变量的系数是变动的，所以需要依据检验是否某个变量的系数是变动的

• 数据量很大，可以考虑全部变量系数变化
• 依次从全部变量系数不同，m-1个系数不同，m-2个系数不同，…,1个系数不同逐个检验（此方法用于变量个数很多或者虚拟变量个数很多的情形）

LR检验

$Y_{it}={\alpha }_0+{\alpha }_i+{\beta }_1{x}_{1it}+({\beta }_2{x}_{2it}+{\gamma }_1{x}_{2it}\ast D_1+{\gamma }_2{x}_{2it}\ast D_2)+({\beta }_3{x}_{3it}+{\eta }_1{x}_{3it}\ast D_1+{\eta }_2{x}_{3it}\ast D_2)+{\epsilon }_{it}$
原假设：${\gamma }_1={\gamma }_2={\eta }_1={\eta }_2=0$；（变量的系数不变动）
备择假设：${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\eta }_1,{\eta }_2$不全为0；（变系数模型）

LR检验的无约束回归方程（备择假设成立）：
$Y_{it}={\alpha }_0+{\alpha }_i+{\beta }_1{x}_{1it}+({\beta }_2{x}_{2it}+{\gamma }_1{x}_{2it}\ast D_1+{\gamma }_2{x}_{2it}\ast D_2)+({\beta }_3{x}_{3it}+{\eta }_1{x}_{3it}\ast D_1+{\eta }_2{x}_{3it}\ast D_2)+{\epsilon }_{it}$
计算$ln{L}_u$
LR检验的约束回归方程（原假设成立）：
$Y_{it}={\alpha }_0+{\alpha }_i+{\beta }_1{x}_{1it}+{\beta }_2{x}_{2it}+{\beta }_3{x}_{3it}+{\epsilon }_{it}$
计算$ln{L}_r$

Swamy检验

$Y_i=X_i\widetilde{{\beta }_i}+{\epsilon }_i,i=1,2,...,N$
$\widetilde{{\beta }_i}={\beta }_0+{\beta }_i$
$E({\beta }_i)=0_{k\ast 1},$
原假设：${\beta }_0={\beta }_1={\beta }_2={\beta }_3=...={\beta }_N$ （不变系数）
备择假设：${\beta }_0,{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3,...,{\beta }_N$不全相等（变系数）

• 同方差$var({\epsilon }_i)={\sigma }_{\epsilon }^2$
  服从F分布
• 异方差$var({\epsilon }_i)={\sigma }_i^2$
  检验统计量为 $Sw=\sum _{i=1}^N\frac{({\hat{\beta }}_i-{\hat{\beta }}_0^{\ast }{)}^{\prime }{X}_i^{\prime }{X}_i({\hat{\beta }}_i-{\hat{\beta }}_0^{\ast })}{{\hat{\sigma }}_i^2}\stackrel{d}{\to }{\chi }^2((N-1)k)(给定N;T\to \infty 时)$
  ${\hat{\beta }}_0^{\ast }=(\sum _{i=1}^N{\hat{\sigma }}_i^2{X}_i^{\prime }{X}_i{)}^{-1}(\sum _{i=1}^N{\hat{\sigma }}_i^2{X}_i^{\prime }{Y}_i)$

模型检验步骤

固定效应

LR逐次检验：

1. 原假设：混合回归模型（截距与斜率都不变）
   备择假设：截距项与斜率项（k个变量）发生变化
   此时：不拒绝原假设，建立混合回归模型，检验结束；拒绝原假设，截距项与斜率项之中至少有一项在变化，因此进入下一步检验。

2. 引入截距项的约束函数，验证是否成立
   原假设：变量的斜率变化 (约束条件成立)
   备择假设：截距项、变量的斜率变化（约束条件不成立）
   此时：不拒绝原假设，认为截距项不变。接下来要检验哪些变量的斜率发生变化；拒绝原假设，认为截距项变化，接下来需要检验截距项随时点变化、个体变化、个体时点变化，以及哪些变量的斜率发生变化。

3. 在上一步原假设的基础上在引入任意k-1个关于变量系数的约束条件，有1个变量系数自由另外的k-1个约束条件的，认为这1个变量系数为模型唯一变动的变量系数，否则认为至少有2个变量系数变动。
   原假设：个体FX变截距，考察其中一个变量变化，另外k-1个变量不发生变化。
   备择假设：个体FX变截距，至少有两个变量系数变化。
   此时：不拒绝原假设，我们认为个体FE变截距，且只有一个变量斜率发生变动。检验结束。
   拒绝原假设，认为截距项发生变动，并且k-1个变量的斜率中至少有一个会变。继续检验。

4. 减少1个约束条件个数，重复第三步检验。

随机效应

原假设：混合模型
备择假设：截距项、所有变量（k个变量）的斜率都是随机效应。
此时：若不拒绝原假设，表明建立混合（pool）模型，检验到此结束。
若拒绝原假设，建立随机系数模型。
注意：随机系数模型的截距项也应该是随机。

建模步骤