一、基于二阶广义积分器的单相锁相环原理

1、单相锁相环原理简介

在三相电网系统中，基于同步旋转坐标系的锁相环（SRF-PLL）应用非常广泛。因为三相信号中有三个分量，可以通过Park变换将静止坐标系变换为旋转坐标系，从而实现对电网频率和相位的锁定。

对于单相电网，由于只有一个电压信号，缺乏正交分量，无法直接进行坐标变换。为此，引入正交信号发生器（QSG），通过数学方法虚拟构造一个与原信号正交的信号，使单相信号也能实现类似三相系统的相位锁定。

图1给出了单相锁相环的结构图。输入电压信号经过QSG后生成两路互为正交的信号，分别记为uα和uβ，再通过Park变换得到ud和uq。接着，将uq作为相位误差信号，送入PI控制器，通过积分环节不断修正估计角速度ω，最终使估计的相位角θ^与输入信号的实际相位同步。

图 1 基于 QSG 的单相锁相环结构图

图 2 Park 变换示意图

图2直观地展示了Park变换的过程。QSG输出的uα和uβ可以看作是一个二维向量u⃗。当旋转坐标系（即dq坐标系）与这个向量对齐时，输入信号在d轴上的投影最大，而在q轴上的投影为零。因此，锁相控制的目标就是使得uq=0，也就是说让dq坐标系的d轴与输入信号对齐。通过不断调节估计的相位角θ^，实现q轴输出趋近于零，从而达到相位锁定的目的。

2、二阶广义积分器

单相锁相环的性能优劣取决于QSG模块的性能，二阶广义积分器（SOGI）对比与其他正交发射器而言有着结构简单、滤除谐波能力强、锁相精度高被广泛应用于虚拟量的构造。图3给出了SOGI的结构图。

图 3 二阶广义积分器结构图

图3中，v、v′和qv′分别是输入信号、同相位信号和虚拟正交信号；k是系统增益，也是闭环系统的带宽；ω0是角频率，即系统的谐振频率。由图3，可写出SOGI的闭环传递函数

从传递函数可以看出，H1(s)和H2(s)的带宽仅与参数k有关，而与中心频率ω0无关。当令s=jω0时，H1(s)和 H2(s)之间的相位差为90°，体现出正交特性。参数k的取值直接影响系统的滤波性能与动态响应，通常取经验值1.414。

图 4 SOGI 伯德图

利用MATLAB软件对SOGI的鲁棒性进行可视化分析，绘制了参数为ω0=100π、k=1.414时的Bode图，如图4所示。可见，H2(s)在全频域内始终滞后 H1(s) 90°，表明无论ω0取值如何，H1(s)与H2(s)始终保持正交关系。

二、关键实现步骤

1、SOGI离散化部分

1.1 实现代码

1.2 实现原理

由于 H1(s) 和 H2(s) 均为二阶滤波器，下面给出二阶传递函数在 C 语言中的通用实现代码。通过修改输入信号和相关系数，即可实现不同形式的二阶滤波器。具体原理如下：

二阶系统传递函数的离散化传递函数为：

(1) 定义中间变量（为减少计算量）

将传递函数分解为两个部分：

引入中间变量W(z)

(2) 推导递归部分

转换为时域差分方程：

对应代码：

(3) 推导非递归部分

输出表达式：

转换为时域差分方程：

对应代码：

1.3 SOGI参数整定

上面代码中涉及到多个参数，包括gain、B0、B1、A1、A2、A3。它们可使用下列matlab代码进行整定。先运行matlab代码，再去仿真里面核对。其中关键参数为Ts，即fsw。

% SOGI spll

clc;

clear all;

% SOGI coefficient

fline = 50;

wsogi = 2 * pi * fline;

wline = 2 * pi * fline;

fsw = 20e3;

Ts = 1/fsw;

k = 1.414;

% SOGI TF

tf_in = tf([0 k*wsogi 0], [1 k*wsogi wsogi^2]);

tf_out_dly90deg = tf([0 0 k*wsogi^2], [1 k*wsogi wsogi^2]);

% C 2 D

tf_in_d = c2d(tf_in, Ts, 'tustin')

tf_out_d = c2d(tf_out_dly90deg, Ts, 'tustin')

[num_vd, den_vd] = tfdata(tf_in_d,'v')

[num_id, den_id] = tfdata(tf_out_d,'v')

% Show  TF bode

figure(1)

z = bodeplot(tf_in_d, tf_out_d);

setoptions(z,'FreqUnits','Hz','PhaseVisible','on')

grid on;

2、单相锁相环

2.1 实现代码

2.2 实现原理与参数整定

实现原理见图1。PI参数整定用试凑法，见仿真文件。

三、仿真验证

3.1. 仿真模型（开源文件见文末）

图5为所搭建的仿真模型，采用锁相环获取单相逆变器输出电压的相位信息。图6为仿真结果，锁相环能实现快速准确锁相。

图 5 仿真模型截图

图 6 仿真结果：锁相环能快速准确锁相

公众号“电源海盗船”中，回复“single_PLL”我将发出这个仿真文件，包括单相逆变器仿模型和锁相环代码。

特别说明：本内容所涉仿真基于微信公众号“开关电源仿真与实用设计”的开源文件进行二次开发与注解。详细链接如下：基于广义二阶积分器的的单相交流锁相环仿真

其他参考资料：

1. 胡辉.单相并网逆变器的矢量控制策略研究. 2024. 华东交通大学, MA thesis.

2. 袁静.两级式单相DC-AC变换器的二次谐波抑制及稳定性研究. 2024. 华北电力大学, MA thesis.

3. 高鑫波.单相准Z源逆变器二次谐波抑制及稳定性研究. 2024. 华北电力大学, MA thesis.