一、4种最新多目标优化算法介绍

多目标加权平均算法（MOWAA）
多目标班翠鸟优化算法（MOPKO）
多目标鳗鱼和石斑鱼优化算法（MOEGO）
改进型多目标部落竞争与成员合作算法（IMOCTCM）

二. 多目标无人机路径规划模型

2.1 路径成本

为了提高无人机的操作效率，规划的路径需要在特定的应用标准下达到最优。在我们的研究中，主要关注空中摄影、测绘和表面检查，因此选择最小化路径长度作为优化目标。由于无人机通过地面控制站（GCS）进行控制，飞行路径 $X_i$ 被表示为无人机需要飞越的一系列 $n$ 个航路点的列表。每个航路点对应于搜索地图中的一个路径节点，其坐标为 $P_{ij}=(x_{ij},y_{ij},z_{ij})$。通过表示两个节点之间的欧几里得距离为路径成本 $F_1$ ，可以计算为：

$$F_1(X)=\sum _{j=1}^{n-1}\Vert \overrightarrow{P_{ij}{P}_{i,j+1}}\Vert$$

2.2 约束成本

无人机的约束成本包含威胁成本，飞行高度成本，平滑成本。

(1)威胁成本

除了最优性之外，规划的路径还需要确保无人机的安全操作，引导其避开操作空间中可能出现的威胁，这些威胁通常由障碍物引起。设 $K$ 为所有威胁的集合，每个威胁被假设为一个圆柱体，其投影的中心坐标为 $C_k$，半径为 $R_k$，如下图 所示。

对于给定的路径段 $\Vert \overrightarrow{P_{ij}{P}_{i,j+1}}\Vert$，其相关的威胁成本与它到 $C_k$ 的距离 $d_k$ 成正比。考虑到无人机的直径 $D$ 和到碰撞区域的危险距离 $S$，威胁成本 $F_2$ 在障碍物集合 $K$ 上计算如下：

$$F_2(X_i)=\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{k=1}^K{T}_k(\overrightarrow{P_{ij}{P}_{i,j+1}}),$$

其中

$$T_k(\overrightarrow{P_{ij}{P}_{i,j+1}})=\{\begin{array}{ll}0,& \text{if }{d}_k>S+D+R_k\\ (S+D+R_k)-d_k,& \text{if }D+R_k<d_k\le S+D+R_k\\ \infty ,& \text{if }{d}_k\le D+R_k\end{array}$$

(2)飞行高度成本

在操作过程中，飞行高度通常被限制在给定的最小和最大高度之间，例如在调查和搜索应用中，需要相机以特定的分辨率和视场收集视觉数据，从而限制飞行高度。设最小和最大高度分别为 $h_{\text{min}}$ 和 $h_{\text{max}}$。与航路点 $P_{ij}$ 相关的高度成本计算为：

$$H_{ij}=\{\begin{array}{ll}|h_{ij}-\frac{h_{\text{max}}+h_{\text{min}}}{2}|,& \text{if }{h}_{\text{min}}\le h_{ij}\le h_{\text{max}}\\ \infty ,& \text{otherwise}\end{array}$$

其中 $h_{ij}$ 表示相对于地面的飞行高度，如下图所示。

可以看出，$H_{ij}$ 保持平均高度并惩罚超出范围的值。对所有航路点求和得到高度成本：

$$F_3(X)=\sum _{j=1}^n{H}_{ij}$$

(3)平滑成本

平滑成本评估转弯率和爬升率，这对于生成可行路径至关重要。如下图 所示。

转弯角 ${\varphi }_{ij}$ 是两个连续路径段 $\overrightarrow{P_{ij}^{\prime }{P}_{i,j+1}^{\prime }}$ 和 $\overrightarrow{P_{i,j+1}^{\prime }{P}_{i,j+2}^{\prime }}$ 在水平面 Oxy 上的投影之间的角度。设 $\overrightarrow{k}$ 是 z 轴方向的单位向量，投影向量可以计算为：

$$\overrightarrow{P_{ij}^{\prime }{P}_{i,j+1}^{\prime }}=\overrightarrow{k}\times (\overrightarrow{P_{ij}{P}_{i,j+1}}\times \overrightarrow{k})$$

因此，转弯角计算为：

$${\varphi }_{ij}=\arctan \left(\frac{\Vert \overrightarrow{P_{ij}^{\prime }{P}_{i,j+1}^{\prime }}\times \overrightarrow{P_{i,j+1}^{\prime }{P}_{i,j+2}^{\prime }}\Vert }{\overrightarrow{P_{ij}{P}_{i,j+1}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{P_{i,j+1}^{\prime }{P}_{i,j+2}^{\prime }}}\right)$$

爬升角 ${\psi }_{ij}$ 是路径段 $\overrightarrow{P_{ij}{P}_{i,j+1}}$ 与其在水平面上的投影 $\overrightarrow{P_{ij}^{\prime }{P}_{i,j+1}^{\prime }}$ 之间的角度，由下式给出：

$${\psi }_{ij}=\arctan \left(\frac{z_{i,j+1}-z_{ij}}{\Vert \overrightarrow{P_{ij}^{\prime }{P}_{i,j+1}^{\prime }}\Vert }\right)$$

然后，平滑成本计算为：

$$F_4(X)=a_1\sum _{j=1}^{n-2}{\varphi }_{ij}+a_2\sum _{j=1}^{n-1}|{\psi }_{ij}-{\psi }_{j-1}|$$

其中 $a_1$ 和 $a_2$ 分别是转弯角和爬升角的惩罚系数。

2.3 目标函数

若共有$m$ 个无人机，$f_1$ 表示$m$ 个无人机的路径成本之和；$f_2$ 表示$m$ 个无人机的约束成本之和，计算公式如下：
$$f_1(X)=\sum _{i=1}^m{b}_1{F}_1(X_i)$$
$$f_2(X)=\sum _{k=2}^4\sum _{i=1}^m{b}_k{F}_k(X_i)$$
其中 $b_k$ 是权重系数，第$i$ 个无人机的路径成本$F_1(X_i)$； 第$i$ 个无人机的约束成本为威胁成本$F_2(X_i)$、飞行高度成本$F_3(X_i)$、平滑成本$F_4(X_i)$、之和。决策变量是 $X$，包括 $n$ 个航路点 $P_{ij}=(x_{ij},y_{ij},z_{ij})$ 的列表，使得 $P_{ij}\in O$，其中 $O$ 是无人机的操作空间。

参考文献：
[1] Phung M D , Ha Q P .Safety-enhanced UAV path planning with spherical vector-based particle swarm optimization[J].Applied Soft Computing, 2021(2):107376.DOI:10.1016/j.asoc.2021.107376.

三、部分MATLAB代码及结果

%% 画图
lineColor=linspecer(UAVnum);%%路径颜色
for Anum=1:length(AlgorithmName)
    Result=FinalResult(Anum).Algorithm.Result;
    %% 定义3个视图
    gca1=figure;
    gca2=figure;
    gca3=figure;
    %% 画地形图及起始点
    [hh2,hh3,hhh2,hhh3,hhhh2,hhhh3]=PlotUAVRoute(ModelUAV,gca1,gca2,gca3);
    %% 画各个无人机的路径
    hh=[];
    hhh=[];
    hhhh=[];
    lenstr=[];
    for i=1:UAVnum
        [hh10,hhh10,hhhh10]=PlotUAV(Result(i).BestPosition,ModelUAV(i).model,gca1,gca2,gca3,lineColor(i,:));
        hh=[hh,hh10];
        hhh=[hhh,hhh10];
        hhhh=[hhhh,hhhh10];
        lenstr{i}=strcat('UAV',num2str(i));
    end
    legenstr=lenstr;
    lenstr{i+1}='start';
    lenstr{i+2}='end';
    legend([hh,hh2,hh3],lenstr,Location="best")
    title(AlgorithmName{Anum})

    legend([hhh,hhh2,hhh3],lenstr,Location="best")
    title(AlgorithmName{Anum})

    legend([hhhh,hhhh2,hhhh3],lenstr,Location="best")
    title(AlgorithmName{Anum})

    figure(gca1)
    saveas(gca,['./Picture/',AlgorithmName{Anum},'1.jpg']);
    figure(gca2)
    saveas(gca,['./Picture/',AlgorithmName{Anum},'2.jpg']);
    figure(gca3)
    saveas(gca,['./Picture/',AlgorithmName{Anum},'3.jpg']);
    figure
    for i=1:UAVnum
        plot(Result(i).data.fit,'-o','LineWidth',2)
        hold on
    end
    legend(legenstr)
    set(gca,'xtick',1:1:4);
    set(gca,'XTickLabel',{})
    title(AlgorithmName{Anum})
    saveas(gca,['./Picture/',AlgorithmName{Anum},'5.jpg']);
end

（1）总图

（2）多目标加权平均算法（MOWAA）

（3）多目标班翠鸟优化算法（MOPKO）

（4）多目标鳗鱼和石斑鱼优化算法（MOEGO）

（5）改进型多目标部落竞争与成员合作算法（IMOCTCM）

四、完整MATLAB代码见下方名片