基于内容的推荐系统

推荐系统是机器学习最重要的应用之一，你所知道的淘宝、亚马逊、facebook、豆瓣这些网站都把推荐系统作为了核心。在某个电影资讯的网站，有那么一份用户对于电影的打分（1 - 5 分），? 代表用户没有评价过该电影：

该网站对于每部电影都给出了两个评价指数，构成了电影的二维特征向量 $x$ ：

$$x_1=电影的浪漫指数$$$$x_2=电影的动作指数$$

假设用户 $i$ 对于每个指数的偏好程度由向量 ${\theta }^{(i)}$ 所衡量，则我们估计该用户对电影 $j$ 的打分为：

$$y^{(i,j)}=({\theta }^{(i)}{)}^T{x}^{(i)}$$

这就是基于内容的推荐系统，我们根据商品内容来判断用户可能对某个商品的偏好程度，本例中，商品内容就是电影具有的一些指数。我们也知道了，推荐系统中两个重要的维度：人和物。

另外，我们引入 $r(i,j)$ 表示第 $i$ 个用户是否对第 $j$ 部电影进行了打分：
$$r(i,j)=\{\begin{array}{l}1，用户i对电影j打过分\\ 0，otherwise\end{array}$$

目标优化

为了对用户 $j$ 打分状况作出最精确的预测，我们需要：

$$\underset{{\theta }^{(j)}}{\min }\frac{1}{2}\sum _{i:r(i,j)=1}(({\theta }^{(j)}{)}^T-y^{(i,j)}{)}^2+\frac{\lambda }{2}\sum _{k=1}^n({\theta }_k^{(j)}{)}^2$$

那么对于所用用户 $1,2,...,n_u$ ，我们就需要：

$$\underset{{\theta }^{(1)},{\theta }^{(2)},...,{\theta }^{(n_u)}}{\min }=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^{n_u}\sum _{i:r(i,j)=1}(({\theta }^{(j)}{)}^T{x}^{(i)}-y^{(i,j)}{)}^2+\frac{\lambda }{2}\sum _{j=1}^{n_u}\sum _{k=1}^n({\theta }_k^{(j)}{)}^2$$

代价函数 $J({\theta }^{(1)},{\theta }^{(2)},...,{\theta }^{(n_u)})$ 就为：

$$J({\theta }^{(1)},{\theta }^{(2)},...,{\theta }^{(n_u)})=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^{n_u}\sum _{i:r(i,j)=1}(({\theta }^{(j)}{)}^T{x}^{(i)}-y^{(i,j)}{)}^2+\frac{\lambda }{2}\sum _{j=1}^{n_u}\sum _{k=1}^n({\theta }_k^{(j)}{)}^2$$

参数更新

我们使用梯度下降法来更新参数：

$$更新偏置（插值）：$$$${\theta }_0^{(j)}:={\theta }_0^{(j)}-\alpha \sum _{i:r(i,j)=1}(({\theta }^{(j)}{)}^T{x}^{(i)}-y^{(i,j)})x_0^{(i)}$$

$$更新权重：$$$${\theta }_k^{(j)}:={\theta }_k^{(j)}-\alpha (\sum _{i:r(i,j)=1}(({\theta }^{(j)}{)}^T{x}^{(i)}-y^{(i,j)})x_k^{(i)}+\lambda {\theta }_k^{(j)}),k\ne 0$$