数理逻辑

【mathematical logic】

执笔：金人麟 校阅：史念东

选自《数学大辞典》

亦称符号逻辑(symbolic logic),处于数学和数学哲学的交叉部分。数理逻辑一方面使用形式逻辑的思想方法研究数学及数学推理的基本原则和规律;另一方面使用数学工具来表示和研究形式逻辑的性质和结构。

数理逻辑包含了很多分支和研究方向,其中最主要的分支为：

模型论、

证明论、

集合论和

递归论(即可计算理论)。

这四个分支的发展都和哥德尔(K.Godel)在20世纪30年代完成的工作有着密切的联系。

数理逻辑是伴随着数学公理化进程而不断发展的。在19世纪后期到20世纪初,弗雷格(G.Frege)和罗素(B.Russell)致力于用符号逻辑替代自然语言来描述数学原理和数学推理,他们发展了命题演算和谓词演算,使得数学更加系统化和严格化,从而使得数学和逻辑成为一体。

他们的工作也使得人们更加了解了数学推导中逻辑语义和逻辑语法的差别。这推动了数学公理化的进程。

但在此发展中产生了对数学公理化过于乐观的倾向,即认为最终可以找到一个相容的、完备的公理系统使得所有的数学定理,包括这个公理系统的相容性,都成为这个公理系统的推论。这就是所谓的希尔伯特计划。

但是这个倾向却被哥德尔所否定。

数学基础

【foundations of mathematics】

执笔：冯琦校阅：金人麟

数学哲学四大流派