背景介绍

Matlab提供了一系列绘图函数，常见的包括绘制2D曲线的plot函数、绘制2D隐函数曲线的ezplot函数、绘制3D曲面的mesh和surf函数、绘制3D显函数曲面的ezmesh和ezsurf函数。值得注意的是，ez系列的绘图函数里只有ezplot是绘制隐函数曲线的，ezmesh和ezsurf都是画显函数曲面的(不要被ez的名字误解了)。遗憾的是，matlab里并没有提供直接绘制3D隐函数曲面的函数。本帖的目的就是归纳总结几种方便易用的绘制隐函数曲面的办法。

问题描述

如何绘制

3

元方程

f(x, y,z) = 0

确立的隐函数曲面

z = g(x,y)

？其中，方程

f(x, y,z) = 0

无法求解

z

关于

x

、

y

的表达式，即

g(x, y)

的显式表达式无法获取。

准备工作——基础函数介绍

为了解决上述问题，我们需要先

对几个重要的图形函数

isosurface

、

patch

、

isonormals

取得初步的了解，如果您已经对这三个函数很熟悉，可以直接跳过这一步。

l.  isosurface 等值面函数

调用格式：

fv = isosurface(X,Y,Z,V,isovalue)

作用：返回某个等值面(由

isovalue

指定)的表面(

faces

)和顶点(

vertices

)数据，存放在结构体

fv

中(

fv

由

vertices

、

faces

两个域构成)。如果是画隐函数

v = f(x,y,z) = 0

的三维图形，那么等值面的数值为

isovalue = 0

。

2.  patch函数

调用格式：

patch(X,Y,C)

以平面坐标

(X, Y)

为顶点，构造平面多边形，

C

是

RGB

颜色向量

patch(X,Y,Z,C)

以空间

3-D

坐标

(X, Y,Z)

为顶点，构造空间

3D

曲面，

C

是

RGB

颜色向量

patch(fv)通过包含vertices、faces两个域的结构体fv来构造3D曲面，fv可以直接由等值面函数isosurface得到

例如：patch(isosurface(X,Y,Z,V,0))

3.  isonormals等值面法线函数

调用格式：

isonormals(X,Y,Z,V,p)

实现功能：计算等值面

V

的顶点法线，将

patch

曲面

p

的法线设置为计算得到的法线(

p

是

patch

返回得到的句柄)。如果不设置法线的话，得到曲面在过渡地带看起来可能不是很光滑

有了上述三个函数后，我们已经具备间接绘制3D隐函数曲面的能力了。下面以方程

f(x,y, z) = x.*y.*z.*log(1+x.^2+y.^2+z.^2)-10 = 0为例，讲解如何画3D隐函数曲面。

解决办法一：isosurface + patch+isonormals

实现原理：先定义

3

元显函数

v =f(x, y, z),

则

v = 0

定义的等值面就是

z = g(x,y)

的

3D

曲面。利用

isosurface

函数获取

v= 0

的等值面，将得到的等值面直接输入给

patch

函数，得出

patch

句柄

p

，并画出

patch

曲面的平面视角图形。对

p

用

isonormals

函数设置曲面顶点数据的法线，最后设置颜色、亮度、

3D

视角，得到

3D

曲面。

代码如下：

f = @(x,y,z) x.*y.*z.*log(1+x.^2+y.^2+z.^2)-10; % 函数表达式

[x,y,z] = meshgrid(-10:.2:10,-10:.2:10,-10:.2:10); % 画图范围

v = f(x,y,z);

h = patch(isosurface(x,y,z,v,0));

isonormals(x,y,z,v,h)

set(h,'FaceColor','r','EdgeColor','none');

xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');

alpha(1)

grid on; view([1,1,1]); axis equal; camlight; lighting gouraud

代码说明：

alpha函数用于设置patch曲面的透明度(可以是0~1任意数值)，1表示不透明，0表示最大透明度。如果想设置透明度为0.7，可以修改alpha(1)为alpha(0.7)。

使用此代码解决特定问题时，只需将第1行的函数表达式替换为特定问题的函数表达式，将第2行数据(x、y、z)范围换成合适的范围，后续代码无需任何变动。

得到图形：

解决办法二：Mupad

Mupad

符号引擎里提供了现成的三维隐函数画图函数：

Implicit3d

在

matlab

里开启

Mupad

的方法是：在

commandwindow

里输入

mupad

来启动一个

notebook

。在启动的

notebook

里再输入如下代码：

plot(plot::Implicit3d(x*y*z*ln(1+x^2+y^2+z^2)-10,

x = -10..10, y = -10..10, z = -10..10), Scaling = Constrained)

得到如下图形：

解决办法三：第三方工具包ezimplot3

在

matlab central

的

file exchange

上有一个非常优秀的绘制

3

维隐函数的绘图函数，叫

ezimplot3

。感兴趣的可以在如下链接下载：

http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/23623-ezimplot3-implicit-3d-functions-plotter

ezimplot3

一共有三种参数调用方式：

ezimplot3(f)画函数f(X,Y,Z)= 0在-2*pi< X < 2* pi, -2* pi < Y < 2* pi, -2* pi < Z < 2* pi上的图形

ezimplot3(f, [A,B])画函数f(X,Y,Z)= 0在A< X < B, A < Y < B, A < Z < B上的图形

ezimplot3(f, [XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,ZMIN,ZMAX])画函数f(X,Y,Z)= 0在XMIN< X < XMAX, YMIN < Y < YMAX, ZMIN < Z < ZMAX上的图形

ezimplot3

使用方法：解压

ezimplot3.zip

，将解压得到的

ezimplot3.m

添加到

matlab

当前搜索路径后就可以使用了。

代码为：

f = @(x,y,z) x*y*z*log(1+x^2+y^2+z^2)-10;

ezimplot3(f,[-10,10]); % [-10, 10] 表示图形范围x、y、z都在区间[-10, 10]

若干说明：

ezimplot3和方法一本质上完全相同。即ezimplot3实际上也是基于isosurface+ patch + isonormals的实现

ezimplot3与方法一的图形视觉效果相同，唯一的区别是，ezimplot3的使用了0.7的透明度：alpha(0.7)

ezimplot3在方法一基础上增加了一些外包功能，如：允许函数句柄f是非向量化的函数(即函数定义无需.*  ./  .^)，这在ezimplot3内部会自动调用vectorize实现函数向量化。另外，ezimplot3可以在调用的时候方便的设定坐标范围。

常见问题和解决办法：

常见问题：很多人在使用以上方法后，经常出现的问题是代码没有任何错误，程序可以运行，就是出来的图形只有一个空坐标轴，看不到图形。

问题分析：出现这种问题的原因是图形的显示区域没设对。比如，我们上述三种方法都是在x为-10到10的范围内，如果你设的范围内本身就没有图形，那当然就看不到图形了。

解决办法：把图形显示范围重新设置对即可，如果不知道图形的大致范围，就手工多改几次，直到看到图形为止

方法一，图形范围是在第2句的meshgrid函数决定的，meshgrid里给出的x、y、z范围就是最终画图范围，修改meshgrid语句即可。

方法二(Mupad)，x =-10..10, y = -10..10, z = -10..10是表示显示范围，修改这里即可。

方法三，用ezimplot3(f,[A, B]) ezimplot3(f, [XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,ZMIN,ZMAX])两种方式控制图形显示范围。

后记：slice切片函数

matlab

还提供一种画切片图形的函数

slice

，

slice

做出的图是在切片上用颜色表示

v

的值。有时，我们画切片图形也有助于我们理解一个

4

维图形。

以

v= f(x,y,z) = x*y*z*exp(-(x^2+y^2+z^2))

为例，假设我们希望看

v =f(x,y,z)

在

x =0, y = 1, z = 1

这些平面切片的图形，我们可以用以下代码：

[x,y,z] = meshgrid(linspace(-2,2));

v = x.*y.*z.*exp(-(x.^2+y.^2+z.^2));

xslice = 0; yslice = 1; zslice = 1;

slice(x,y,z,v,xslice,yslice,zslice)

xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');

colormap hsv

得到图形为：