1. 1D情况

 想象这么一个情景：有一根两端固定的、柔韧度足够的弦，若它的平衡位置设置为x轴，u(x,t)表示弦上坐标为x的点在时刻t垂直于x方向的位移，则弦的自由震动方程为：

(可以取a=1)

   依旧拿之前的例子作为初始条件，它对于波动的表现较形象：

  《数理方程》中介绍过达朗贝尔公式，根据公式，这2个sech函数将分别分裂成两半，以速度a沿着x轴的正方向和负方向传播，即正行波和反行波，这些正行波和反行波的叠加就形成了弦的总位移。

基本思路就是：

    步骤和利用FFT求解的时候略有不同：

   除了常规的离散设置，还需要有一步骤构建谱求导矩阵(上一章我说过)，利用ode45求解方程组之后得到的时间层t*u矩阵，不涉及什么空域频域之分，因此无需再ifft之类的操作。

可以发现，完全符合达朗贝尔公式。

2. 2D情况：

可以把他认为是薄膜波动方程。U(x,y,t)表示在t时刻(x,y)处薄膜的位移。

同样取a = 1，初始条件给一个Guass波包:

对于高阶偏导，我们有：

因此为二阶导数构造二阶的谱求导矩阵：

在求解的时候，u先转化成N*N矩阵形式，中间变量v可以是列向量。

显示：

这里再次说明：谱方法(概称)是应用于周期性边界条件的，关于一二三边界的处理，过一阵有时间可以说一说切比雪夫谱方法，不过由于今儿时间原因，我想把谱方法在求解其他偏微分方程组时有意思的东西留到下一次。