一、概念

1、背景

关联规则（Association Rules）反映一个事务与其他事务之间的相互依存性和关联性。如果2个或多个事务之间存在一定的关联关系，那么，其中一个事务九能够提过其他事务预测到。

• 关联规则是无监督学习方法，用于知识发现，而非预测
• 关联规则的学习器无需事先对训练数据进行打标签，因为无监督学习没有模型训练步骤。缺点是很难对关联规则学习器进行模型评估，一般可以通过业务观测结果是否合理
• 关联规则著名案例：尿布与啤酒、购物篮分析，可以用于电影推荐。关联分析的结果可以用于市场规划、广告策划、分类设计等

2、使用场景

• 销售：通过交叉分析获得更大收入
• 保险：分析索赔要求发现潜在欺诈行为
• 银行：分析顾客消费行业，针对性的推荐其感兴趣的服务
• 制作业：分析制造零件和设备装置与故障事件关联性
• 医学：哪些病人和药物属性与结果有关联
• 新闻推荐：根据浏览历史推荐；

3、事务数据库（transaction database）

• 存储着二维结构的记录集，记为D，或称事物记录集D，简称事务集D
• 事务集D中包含事物的个数称为｜D｜
• 下表为一个简单的事务数据集，｜D｜=7

TID	商品
t1	牛肉、鸡肉、牛奶
t2	牛肉、奶酪
t3	奶酪、靴子
t4	牛肉、鸡肉、奶酪
t5	牛肉、鸡肉、牛奶、衣服、奶酪
t6	鸡肉、牛奶、衣服
t7	鸡肉、牛奶、衣服

4、所有项集

• 设I = {i1,i2,…im}是m个不同项目的集合，每个ik（k=1，2，…，m）称为一个项目（item），I是所有项目item的集合，称之为所有项集items
• 示例中I= {牛肉、鸡肉、牛奶、衣服、奶酪}，其中，“牛肉”、“鸡肉”等均称之为项目item

5、事务

• 在事务数据集里的每一笔记录，记为T，T∈D
• 每个事务T（transaction）是所有项集I的一个子集，即T⊆I
• {牛肉、鸡蛋、牛奶}便是一个事务
• 每个事务有一个唯一的标识-事务号，记作TID

6、项集ItemSet

• 项目的集合X称之为项目集合ItemSet，简称为项集。其中元素个数为项集的长度，长度为k的项集成为k-项集
• 如{牛奶}、{鸡肉}均为1-项集，{牛肉、奶酪}为2-项集

7、支持度

• 对于项集X，count为事务集D中包含X的数量，项集X的支持度就是项集X出现的概率。项集支持度用于描述X的重要性，计算方式：

  Support(X) = count(X⊆T) / |D|

• 项集的支持度就是该项集出现的次数除以总的记录数（事务数）

  Support({牛肉、鸡肉}) = 3/7

  Support({奶酪、鸡肉}) = 2/7

8、频繁项集

• 支持度的意义在于度量项集在整个事务集中出现的频次。我们在发现规则的时候，希望关注频次高的项集；
• 发现关联规则要求项集必须满足的最小支持度阈值，称为项集的最小支持度（minimum Support），记为supmin
• 支持度大于或等于最小支持度的项集称为频繁项集，简称频繁集，反之称为非频繁集
• 通常k-项集如果满足supmin，称为k-频繁集，记作Lk

9、关联规则

• 关联规则可以表示为一个蕴含式：R：X→Y
• 其中X⊂I，Y⊂I，并且X∩Y=∅
• X是这条规则的left-hand-side（LHS or antecedent，前件），Y是这条规则的right-hand-side（RHS or consequent，后件）
• LHS和RHS的项集不能有交集
• 示例：
  R： 纸尿裤→啤酒
  R：牛肉→鸡肉

10、关联规则的支持度

• 关联规则可以表示为一个蕴含式：R：X→Y，并且X⊂I，Y⊂I，并且X∩Y=∅

• 规则R的支持度三交易集中同时包含X和Y的交易数与所有交易数之比

  Support(X→Y) = Count(X∪Y) / |D|

• 支持度计算在事务集中，既有X又有Y的概率

• 例如：在7条记录中，既有鸡肉又有牛肉的记录有3条，则
  R:牛肉→鸡肉的支持度为3/7，Support(A→B) = P(AB)表示在所有顾客当中有3/7同时购买来牛肉和鸡肉，其反映了同时购买鸡肉、牛肉的顾客在所有顾客当中的覆盖范围

11、关联规则的置信度confidence

• 对于关联规则可以表示为一个蕴含式：R：X→Y，并且X⊂I，Y⊂I，并且X∩Y=∅；

• 规则R的置信度是指包含X和Y的交易数与包含Y的交易数之比：

  confidence(X→Y) = Support(X∪Y) / Support(X)

• 规则的置信度的意义在于项集{X,Y}同时出现的次数占项集{X}出现次数的比例，即发生X的条件下又发生Y的概率；

• 例如：在7条记录中，购买牛肉的记录有4条，在4条记录中又有3条记录显示购买了鸡肉，即R：牛肉→鸡肉的置信度为3/4，表示来在购买牛肉的顾客当中有3/4的人买了鸡肉，反映了可预测的程度，即顾客买了牛肉的话有多大可能性买鸡肉；

• 从概率论角度看，可以把顾客买了牛肉之后有多大可能性买鸡肉看作是条件概率，即：

  confidence(X→Y) = P(X|Y)

最小支持度（minimum Support）记为supmin，最小置信度（minimum confidence）记为confmin，分别表示关联规则需要满足的最低重要性、可能性；为阈值参数，必须在算法运行前指定；表示用户只对某些规则感兴趣，这些规则表示数据集的最低支持度、拥有比较高的概率。supmin用于对项集限制，而不是对规则限制，confmin对项集无影响，影响的是规则。

如果Support(X→Y) ≥supmin confidence(X→Y) ≥confmin则称为强关联规则，否则为弱关联规则。

12、提升度Lift

• 规则的提升度的意义在于度量项集{X}和项集{Y}的独立性

  Lift(X→Y) = Support(X∪Y) / [ Support(X) * Support(Y) ]

   			= confidence(X→Y) / Support(Y)
  

• 如果2个条件互相独立，则P(XY) = P(X) * P(Y)，即提升度为1；如果小于1，说明使用这条规则推荐无效；一般在数据挖掘中提升度大于3时，才认为挖掘出的关联规则是有价值的；

• 例子：如果10000个事务中，6000个事务包含计算机游戏，7500包含游戏机游戏，4000个事务同时包含二者：
  关联规则（计算机游戏→游戏机游戏）支持度为4000/10000=0.4，置信度为4000/6000=0.67，但这个规则存在误导；
  提升度角度计算：假设购买计算机游戏为X，购买游戏机游戏为Y

    Lift(X→Y) = Support(X∪Y) / [ Support(X) * Support(Y) ]  
    				 = confidence(X→Y) / Support(Y)
    				 = 0.67 / 0.75 = 0.89
    0.89<1，推荐无效，不如不推荐。
  

二、关联规则生成

1、生成候选项集

生成候选项集，然后根据指定的最小支持度，过滤掉非频繁项集，生成频繁项集

2、重复遍历

第一次遍历，对所有单项的支持度进行计数，并确定频繁项；在后续的每次遍历中，利用上次遍历所得频繁项集作为种子项集，产生新的频繁项集-候选项集，并对候选项集的支持度进行计数，在本次遍历结束时统计满足最小支持度的候选项集，本次遍历对应的频繁项集就算是确定了，这些频繁项集又成为下一次遍历的种子；重复此遍历过程，直到不再能发现新的频繁项集。

3、示例

现有5种商品交易记录，找出频繁项集并生成关联规则，假设最小支持度和最小置信度均为≥50%

交易号	商品代码
T1	A,C,D
T2	B,C,E
T3	A,B,C,E
T4	B,E

1、寻找频繁项集-第一次扫描

• 生成候选1-项集C1，计算支持度
• 根据最小支持度，生成频繁1-项集L1

C1:

项集	支持度
{A}	50%
{B}	75%
{C}	75%
{D}	25%
{E}	75%

L1:

频繁项集	支持度
{A}	50%
{B}	75%
{C}	75%
{E}	75%

2、第二次扫描

• 生成候选2-项集C2，计算支持度
• 根据最小支持度，生成频繁2-项集L2

C2:

项集	支持度
{A，B}	25%
{A,C}	50%
{A,E}	25%
{B,C}	50%
{B,E}	75%
{C,E}	50%

L2:

频繁项集	支持度
{A,C}	50%
{B,C}	50%
{B,E}	75%
{C,E}	50%

3、第三次扫描

• 生成候选3-项集C3，计算支持度
• 根据最小支持度，生成频繁3-项集L3

C3:

项集	支持度
{A,B,C}	25%
{A,C,E}	25%
{B,C,E}	50%

L3:

频繁项集	支持度
{B,C,E}	50%

4、生成关联规则

• 生成关联规则时，最简单的办法就是对每个频繁项集，列出其所有非空真子集，任取其中2个座位LHS、RHS，形成关联规则，并及时关联规则置信度，删除弱规则
• 上例中，对于频繁项集{B,C,E}，其非空子集有{B}，{C}，{E}，{B,C}，{B,E}，{C,E}，据此获得的关联规则及其置信度，置信度≥50%(最小置信度)，都是强规则

规则	置信度
B →{C,E}	66.7%
C→{B,E}	66.7%
E →{C,B}	66.7%
{C,E} →B	1
{B,E} →C	66.7%
{C,B} →E	1

生成频繁项集的过程中，对于4种物品的集合，需要遍历数据15次；对于包含N种物品的数据有2的n-1次方种项集组合；假设有100种商品，则有1.26*10∧30种可能的项集组合，计算量巨大，apriori算法可以减少计算量。

三、Apriori算法

1、原理

Apriori算法是发现频繁项集的一种方法，Apriori算法的两个输入参数分别三最小支持度和数据集。该算法首先会生成所有单个元素的项集列表。接着扫描数据集来查看哪些项集满足最小支持度要求，那些不满足最小支持度的集合会被去掉。然后对剩下来的集合进行组合以生成包含2个元素的项集。接下来在重新扫描交易记录，去掉不满足最小支持度的项集，该过程重复进行直到所有项集都被去掉。
原理：

• 某个项集是频繁的，那么它的所有子集也是频繁的；更常用的三它的逆命题，如果一个项集三非频繁的，那么它的所有超集也是非频繁的（称为项集的反单调性，向下闭合性）
• Apriori在拉丁语指“来自以前”。当定义问题时，通常会使用先验知识或假设，称作“一个先验（Apriori）”。在贝叶斯统计中，使用先验知识作为先验判断。
• 反单调性能迅速剪枝，提高搜索频繁项集的处理效率。
  示例：已知阴影项集{2,3}是非频繁的，利用Apriori原理，我们知道项集{0,2,3}，{1,2,3}，{0,1,2,3}也是非频繁的，紧接着就可以排除它们
  
  从频繁项集中挖掘相关规则：
• 如果某条规则并不满足最小置信度要求，那么该规则的子集也不会满足最小置信度要求。假设{0,1,2}→{3}不满足最小置信度要求那么就知道任何前件为{0，1，2}子集的规则也不会满足最小置信度要求，可以利用关联规则的上述性质来减少测试的规则数目，类似apriori算法求解频繁项集
  

2、寻找频繁项集

• apriori假设事物或项集里的各项已经预先按字典顺序进行排列
• apriori三已知逐层搜索的迭代方法，利用k-项集搜索（k+1）-项集。首先找出频繁1-项集的集合，记为L1；再用L1找频繁2-项集的集合L2；再用L2找L3…如此下去，直到不能找到频繁k-项集为止；找每个Lk需要扫描一次数据库
• 整个过程由连接和剪枝两步组成，即：连接步产生候选项集，剪枝步确定频繁项集

1、寻找频繁项集：连接步

• 为找Lk，可通过Lk-1与自己连接，产生一个候选k-项集的集合，该候选项集的集合记作Ck
• 设p和q是Lk-1中的项集，记号p[i],q[i]分别表示p、q的第i项，为方便计，假设事务或项集中的项集中的项按字典次序排序
• 连接条件1：p和q的前k-2个项相同，即p[1]=q[1]&p[2]=q[2]&…&p[k-2]=qk-2
• 连接条件2：p[k-1]<qk-1

2、寻找频繁项集：剪枝步

• Ck是Lk的超集，即它的成员不一定都是频繁项集，但所有的频繁k-项集都包含在Ck中
• 扫描数据库，确定Ck中每个候选项集的计数，从而确定Lk。然而Ck的可能很大，这样所涉及的计算量就很大
• 未来压缩Ck，利用apriori的性质：任何非频繁项集的(k-1)-项子集不在Lk-1中，则该候选也不可能三频繁的，从而可以从Ck中删除

3、生成关联规则

• 得到频繁项集后，则需要从频繁项集中找出符合条件的关联规则。最简单的办法是：遍历所有的频繁项集，然后从每个项中一次取1、2、…k个元素作为前件，则该项集中的其他元素作为后件，计算该规则的置信度进行筛选即可
• 利用apriori原理进行兼职

四、Apriori算法示例

1、读取数据

import pandas as pd
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")
df=pd.read_excel("./data/apriori/Online Retail.xlsx")
df.head(5)

2、查看数据信息

# invoiceNO发票编号
# Stodckcode商品的代码
# Description 商品的描述
# Quantity 商品的数量
# InvoiceDate开票的日期
# UnitPrice单价
# CustomerID客户编码
# Country地区

df.info()

df.isnull().sum()

3、数据清洗

df_copy=df.copy()

#对于description这一列有空 不知道商品内容 delete
df_copy.dropna(subset=["Description"],inplace=True,axis=0)

# 对于description这一列的数据去掉首尾的空格
df_copy["Description"].str.strip()

#去掉包含C字母开头的发票编号的订单 这些订单表示退货
df_copy=df_copy.loc[~df_copy["InvoiceNo"].astype(str).str.contains("C")]
df_copy.head()

如果电脑内存不够，则需要缩小数据集
df_copy_France=df_copy[df_copy["Country"]=="France"]
df_copy_France

# 去重后查看数据
df_copy_France.drop_duplicates(inplace=True)

df_copy_France=df_copy_France.pivot_table(index="InvoiceNo",columns="Description",values="Quantity")
df_copy_France

# 数据编码，有值表示购买，赋值为1，无值表示未购买，赋值为0
def encode_units(x):
    if x>0:
        return 1
    else:
        return 0

df_copy_France=df_copy_France.applymap(encode_units)
df_copy_France.head()

#这些商品中 邮费 POSTAGRE这个商品不是我们想要的 删除
df_copy_France.drop(columns="POSTAGE",inplace=True)

4、算法建模

# 模块安装： pip install -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple mlxtend
from mlxtend.frequent_patterns import apriori,association_rules

关联算法无训练过程，直接建模，第一步首先找频繁项集
frequent_itemsets=apriori(df_copy_France,min_support=0.07,use_colnames=True)
frequent_itemsets

生成规则

rules=association_rules(frequent_itemsets,metric="lift",min_threshold=3)
rules.head(5)

可以对规则进一步筛选

rules[
    (rules["lift"]>=6)  # 提升度
    &
    (rules["confidence"]>=0.8)  # 置信度
]

可以做出一些新的特征 如前件的长度

rules["ant_length"]=rules["antecedents"].map(lambda x:len(x))
rules.head(5)