一，随机变量的数学期望
1，定义：设离散型随机变量的分布律为：
P { X = x k } = p k , k = 1 , 2 , 3 P\left \{ X=x_k\right \}=p_k, k=1,2,3 P{X=xk​}=pk​,k=1,2,3

如果级数${\sum }_{k=1}^{\infty }{x}_k{p}_k$ 绝对收敛，则级数${\sum }_{k=1}^{\infty }{x}_k{p}_k$ 的和称为随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记为$E(X)$，即$$E(X)=\sum _{k=1}^{\infty }{x}_k{p}_k$$
若级数不收敛，则X的数学期望不存在。

同理，随机变量函数的数学期望：
（1）函数离散：$$E(Y)=E[g(X)]=\sum _{k=1}^{\infty }g(x_k)p_k$$
（2）函数连续：$$E(Y)=E[g(X)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)p(x)dx$$
2，期望的性质：
（1）设$C$是常数，则$E(C)=C$
（2）设$k$是常数，则$E(k\ast X)=kE(X)$
（3）$E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)$
（4）设X、Y独立，则$E(XY)=E(X)E(Y)$，反过来不成立。

例题：

二、方差
1，定义：设$X$是一个随机变量，若$$E\left\{{\left[X-E(X)\right]}^2\right\}$$存在，则称上式为X的方差，记为$D(X)$。其实和以前学的方差一样，是对均值差的平方和。
称$\sqrt{D(X)}$为X的均方差或标准差。
同理，得到随机变量函数的方差公式：
（1）X为离散型：$$\sum _{k=1}^{\infty }[X-E(X{)}^2]p_k$$
（2）X为连续型：$${\int }_{k=1}^{\infty }[X-E(X{)}^2]p_k$$

重要公式：
$$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$$

2，方差的性质
（1）$D(X)>=0$，若C是常数，$D(C)=0$
（2）$D(CX)=C^{2}D(X)$
（3）若a、b为常数，X，Y独立，
则$D(aX\pm bY)=a^{2}DX+b^{2}DY$

三、协方差
1，定义：随机变量X，Y的协方差计算如下：$$COV(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)$$$$=E(XY)-E(X)E(Y)$$
而COV(X,X)就是DX。

协方差其意义：
度量各个维度偏离其均值的程度。协方差的值如果为正值，则说明两者是正相关的(从协方差可以引出“相关系数”的定义)，结果为负值就说明负相关的，如果为0，也是就是统计上说的“相互独立”。

相关系数：
是一个无量纲的量；若$\rho =0$，则X，Y不相关，此时，$COV(X,Y)=0$

相关系数是表征随机变量X与Y直接线性关系紧密程度的量。
1）若$|\rho |=1$，则X，Y之间以概率1存在着线性关系。
2）若$|\rho |=>0$，越接近0，X,Y之间的线性关系越弱。
3）若$|\rho |=0$，不相关

2，协方差的性质
（1）$COV(X,Y)=COV(Y,X)$
（2）$COV(aX,bY)=abCOV(X,Y)$
（3）$COV(X+Y,Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z)$
（4）$D(aX+bY)=a^{2}DX+b^{2}DY+2abCOV(X,Y)$

四、协方差矩阵
1，若$E{X}^k$存在，则称之为X的k阶原点矩；
若$E(X-EX{)}^k$存在，称之为X的k阶中心矩。
所以，EX是一阶原点矩，DX是二阶中心矩。

2，