本文作为自己学习李宏毅老师2021春机器学习课程所做笔记，记录自己身为入门阶段小白的学习理解，如果错漏、建议，还请各位博友不吝指教，感谢！！

Critical Point

当我们观察训练集上的Loss出现如下两种形式时：

1. 蓝色线：当Loss下降到一定程度后，便不再减小。但此时的Loss并不能满足我们对模型的要求。
2. 橙色线：Loss一直没有下降。

出现上述两种情况的原因可能是：损失函数的梯度（gradient）非常接近零，导致损失函数更新后不会下降。在训练过程中如果损失函数陷入局部最小值（Local minima）或鞍点（saddle point）都会出现上述优化失败的情况，这两种情况统称为critical point。

Local Minima

对于很多非线性优化问题，会存在若干个局部最小值（Local Minima），其对应的解称为局部最小解（Local Minimizer）。

局部最小解定义

存在一个$\delta >0$，对于所有的满足$||x-x^{\ast }||\le \delta$的$x$，都有$f(x^{\ast })\le f(x)$。也就是说，在$x^{\ast }$的邻域内，所有的函数值都大于等于$f(x^{\ast })$。

PS：此处的$x$指的是模型中的未知参数，即$\theta$。

判断局部最小值

要确定一个点$x^{\ast }$是否为局部最小解，通过比较它的邻域内有没有更小的函数值是不现实的。如果函数$f(x)$是二次连续可微的，我们可以通过检查目标函数在$x^{\ast }$的梯度$\nabla f(x^{\ast })$和Hessian矩阵${\nabla }^{2}f(x^{\ast })$来判断。

局部最小解的一阶必要条件：如果$x^{\ast }$为局部最小解并且函数$f$在$x^{\ast }$的邻域内一阶可微，则在$\nabla f(x^{\ast })=0$.

证明：
如果函数$f(x)$是连续可微的，根据泰勒公式（Taylor‘s Formula），函数$f(x)$的一阶展开可以近似为：
$$f(x^{\ast }+\Delta x)=f(x^{\ast })+\Delta x^T\nabla f(x^{\ast })$$
假设$\nabla f(x^{\ast })\ne 0$，则可以找到一个$\Delta x$（比如$\Delta x=-\alpha \nabla f(x^{\ast })$, $\alpha$为很小的正数），使得
$$f(x^{\ast }+\Delta x)-f(x^{\ast })=\Delta x^T\nabla f(x^{\ast })\le 0.$$
这和局部最小的定义矛盾。

局部最小解的二阶必要条件：如果$x^{\ast }$为局部最小解并且函数$f$在$x^{\ast }$的邻域内二阶可微，则在$\nabla f(x^{\ast })=0$, ${\nabla }^{2}f(x^{\ast })$为半正定矩阵。

证明：
如果函数$f(x)$是二次连续可微，函数$f(x)$的二阶展开可以近似为：
$$f(x^{\ast }+\Delta x)=f(x^{\ast })+\Delta x^T\nabla f(x^{\ast })+\frac{1}{2}\Delta x^T({\nabla }^{2}f(x^{\ast }))\Delta x$$
由一阶必要定理可知$\nabla f(x^{\ast })=0$，则：
$$f(x^{\ast }+\Delta x)-f(x^{\ast })=\frac{1}{2}\Delta x^T({\nabla }^{2}f(x^{\ast }))\Delta x\ge 0.$$
即${\nabla }^{2}f(x^{\ast })$为半正定矩阵。

Saddle Point

鞍点的叫法是因为其形状像马鞍．鞍点的特征是一阶梯度为 0，但是二阶梯度的 Hessian矩阵不是半正定矩阵。

如上图所示：鞍点处，参数关于损失函数的一阶梯度为0。但鞍点在一些维度上是最小值，在另一些维度上又是最大值。通过某些方法是可以让优化方法逃离鞍点的。

判断Critical Point类型

当目标函数处于Critical Point时，可能是有Local min、Local max和Saddle point三种情况，如下图所示：

具体判断是哪一种情况，我们可以采用和判断是否为局部最小解一样的方法。

1. 首先使用泰勒公式近似的表示Critical Point周围的点$\theta$：
   $$L(\theta )\approx L({\theta }^{\prime })+(\theta -{\theta }^{\prime }{)}^{T}g+\frac{1}{2}(\theta -{\theta }^{\prime }{)}^{T}H(\theta -{\theta }^{\prime })$$
   其中$g$是一个向量，即：
   $$g=\nabla L({\theta }^{\prime })g_i=\frac{\partial L({\theta }^{\prime })}{\partial {\theta }_i}$$
   $H$是一个Hessian矩阵：
   $$H_{ij}=\frac{{\partial }^{2}L({\theta }^{\prime })}{\partial {\theta }_i\partial {\theta }_j}$$
   如下图所示，其中$(\theta -{\theta }^{\prime }{)}^{T}g$表示绿线部分，$\frac{1}{2}(\theta -{\theta }^{\prime }{)}^{T}H(\theta -{\theta }^{\prime })$表示红线部分（同时表示critical points处的性质），两者同时来弥补$L(\theta )$和$L({\theta }^{\prime })$之间的差异。
   
2. 因为目标函数处于Critical Point，所以此处的梯度$g$为0，所以上面的公式可以表示为：
   $$L(\theta )\approx L({\theta }^{\prime })+\frac{1}{2}(\theta -{\theta }^{\prime }{)}^{T}H(\theta -{\theta }^{\prime })$$
   从该公式中，我们可以看出${\theta }^{\prime }$处是何种critical point是取决于$\frac{1}{2}(\theta -{\theta }^{\prime }{)}^{T}H(\theta -{\theta }^{\prime })$的符号。
3. 令$(\theta -{\theta }^{\prime })=v$，有：
   1）当$H$是正定矩阵（所有的特征值是正的），有$v^{T}Hv>0$，也就是$L(\theta )>L({\theta }^{\prime })$，即${\theta }^{\prime }$处是Local minima。
   2）当$H$是负定矩阵（所有的特征值是负的），有$v^{T}Hv<0$，也就是$L(\theta )<L({\theta }^{\prime })$，即${\theta }^{\prime }$处是Local maxima。
   3）当$H$是半正定矩阵（特征值有正、有负），有时$v^{T}Hv>0$，有时$v^{T}Hv<0$，也就是即$\theta$处是Saddle Point。

以一个简单的例子来看：
Function: $y=w_1{w}_{2}x$，如下图所示：

这里令$x=1\hat{y}=1$

根据$g=0$可以求得$w_1=0和w_2=0$，由此得到hessian，并解出特征值${\lambda }_1=2$和${\lambda }_2=-2$，所以$x$位于Saddle Point处。

参考资料：

1. 《神经网络与深度学习》 邱锡鹏
2. 有关正定矩阵知识：https://blog.csdn.net/asd136912/article/details/79146151