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概念区别

• 均方差损失函数（MSE）
  简单来说，均方误差（MSE）的含义是求一个batch中n个样本的n个输出与期望输出的差的平方的平均值
• Cross-entropy（交叉熵损失函数)
  交叉熵是用来评估当前训练得到的概率分布与真实分布的差异情况。它刻画的是实际输出（概率）与期望输出（概率）的距离，也就是交叉熵的值越小，两个概率分布就越接近

为什么不用MSE（两者区别详解）

原因 1：交叉熵loss权重更新更快😝

• $MSE$

比如对于一个神经元（单输入单输出，$sigmoid$函数）,定义其代价函数为：
$$C=\frac{(y-a{)}^2}{2}$$ 其中$C$是损失，$y$是我们期望的输出(真实值target)，$a$为神经元的实际输出(输出值)：$$z=wx+b,a=\sigma (z)$$在训练神经网络过程中，我们通过梯度下降算法来更新$w$和$b$ ，因此需要计算损失函数对$w$和$b$的导数：$\frac{dC}{dw}$=(a-y)$\sigma$’(z)x=(a-y)a(1-a)x$\approx$a$\sigma$’(z) $\frac{dC}{db}$=(a-y)$\sigma$’(z)=(a-y)a(1-a)$\approx$a$\sigma$’(z)
（其中 $x$ 和 $y$ 都是已知量，因为网络输入都是以 $(x,y)$ 形式输入的，所以上式直接的$“\approx ”$ 把 $x$和 $y$ 略去了）

因为$sigmoid$函数的性质，如图的两端，几近于平坦，导致 $\sigma$‘(z) 在 z 取大部分值时会很小，这样会使得 w 和 b 更新非常慢
再定量解释如下：
由上式：$\frac{dC}{dw}$=(a-y)$\sigma$’(z)x=(a-y)a(1-a)x$\approx$a$\sigma$’(z)
a) 当真实值 y = 1:

• 若 输出值 a = 1，$\frac{dC}{dw}$=0
• 若 输出值 a = 0，$\frac{dC}{dw}$=0

b) 当真实值 y = 0:

• 若 输出值 a = 1，$\frac{dC}{dw}$=0
• 若 输出值 a = 0，$\frac{dC}{dw}$=0

这就带来实际操作的问题。当梯度很小的时候，应该减小步长（否则容易在最优解附近产生来回震荡），但是如果采用 MSE ，当梯度很小的时候，无法知道是离目标很远还是已经在目标附近了。（离目标很近和离目标很远，其梯度都很小）

• $Cross-entropy$

为了克服上述 MSE 不足，引入了categorical_crossentropy（交叉熵损失函数）

二分类 Binary Cross-entropy,激活函数为 sigmoid：$$f(z)=\frac{1}{1+exp(-z)}$$ 损失函数：L(w)=-$\frac{1}{N}$${\sum }_{i=1}^n$[$y_i$${\log }_f$f(xi)+(1-yi)$\log$(1-f(xi))]

简写为：C=- $\frac{1}{N}$${\sum }_{i=1}^N$[$y_i$$\ln$a+(1-$y_i$)$\ln$(1-a)]

同样求导可得：

$\frac{\delta C}{\delta wj}$ = $\frac{1}{N}$${\sum }_{i=1}^N$($\sigma$(z)-y)$x_j$=$\frac{1}{N}$ ${\sum }_{i=1}^N$(a-y)$x_j$

$\frac{\delta C}{\delta b}$ = $\frac{1}{N}$${\sum }_{i=1}^N$($\sigma$(z)-y)= $\frac{1}{N}$${\sum }_{i=1}^N$(a-y)

证明如下：

• $\frac{\delta C}{\delta w_j}$ =-$\frac{1}{N}$${\sum }_{i=1}^N$($\frac{y}{\sigma (z)}$ - $\frac{(1-y)}{1-\sigma (z)}$)$\frac{\delta \sigma }{dwj}$
  =-$\frac{1}{N}$${\sum }_{i=1}^N$($\frac{y}{\sigma (z)}$ -$\frac{(1-y)}{1-\sigma (z)}$)$\sigma$’(z)$x_j$
  =$\frac{1}{N}$${\sum }_{i=1}^N$$\frac{{\sigma }^{\prime }(z)x_j}{\sigma (z)(1-\sigma (z))}$($\sigma$(z)-y)
  =$\frac{1}{N}$${\sum }_{x=1}^N$($\sigma$(z)-y)$x_j$

因此， w 的梯度公式中原来的 $\sigma$'(z)被消掉了，所以导数中没有这一项，权重的更新是受$(a-y)$ 这一项影响（表示真实值和输出值之间的误差），即受误差的影响，所以当误差大的时候，权重更新就快，当误差小的时候，权重的更新就慢。

原因 2：MSE是非凸优化问题而 Cross-entropy 是凸优化问题😝

• $MSE$

我们从最简单的线性回归开始讨论：

线性回归（回归问题）使用的是平方损失：L($\omega$,b)=$\frac{1}{2N}$${\sum }_{i=1}^N$$(y_i-\omega x_i-b{)}^2$

因为这个函数 $L(w,b)$是凸函数，直接求导等于零，即可求出解析解，很简单。但是对于逻辑回归则不行（分类问题）【注意：逻辑回归不是回归！是分类！！】。因为如果逻辑回归也用平方损失作为损失函数，则:$L_{(w)}$= $\frac{1}{2N}$${\sum }_{i=1}^N$($y_i$- $\frac{1}{1+e^{-(w{x}_i)}})$

上式是非凸的，不能直接求解析解，而且不宜优化，易陷入局部最优解，即使使用梯度下降也很难得到全局最优解。如下图所示：

• $Cross-entropy$

而Cross-entropy 计算 loss，则依旧是一个凸优化问题。
直观理解：
$$L(w)=\{\begin{array}{l}-\log (\pi (x_i)).if(y=1)\\ -\log (1-\pi (x_i)).if(y=0)\end{array}$$其中：$\pi$($x_i$)=P(Y=1|x)= $\frac{e^{wx}}{1+e^{w}x}$ = $\frac{1}{1+e^{-(w\cdot x)}}$

当类别标签为 $y=1$ 时，越靠近1则损失越小；当类别标签为 $y=0$ 时，越靠近1则损失越大

补充 Cross-entropy 的缺点

• $sigmoid(softmax)+cross-entropyloss$ 擅长于学习类间的信息，因为它采用了类间竞争机制，它只关心对于正确标签预测概率的准确性，忽略了其他非正确标签的差异，导致学习到的特征比较散。基于这个问题的优化有很多，比如对softmax进行改进，如L-Softmax、SM-Softmax、AM-Softmax等。这些在本篇不展开讨论。

写在最后

十年磨剑，与君共勉！
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