Adaptive Boost(AdaBoost)是一种融合模型，而与Blending不同的是，Blending是在得到$g_t$之后再进行融合，而AdaBoost是一边学习$g_t$，一边融合。那么在介绍AdaBoost之前，首先要看的一个算法模型——前向分步算法。

那么，什么是前向分步算法？
首先，考虑如下形式的加法模型，
$$\mathrm{f}(x)=\sum _{m=1}^M{\beta }_{m}b(x;{\gamma }_m)$$
其中$b(x;{\gamma }_m)$是基函数，${\gamma }_m$是基函数的参数，${\beta }_m$是基函数的系数。

显然，函数f(x)是基函数的线性组合，是一个加法模型。
那么，在给定数据集D和损失函数$L(y,f(x))$的条件下，学习加法模型就变成了极小化损失函数的问题，
$$\underset{{\beta }_m,{\gamma }_m}{\min }\sum _{i=1}^{N}L(y_i,\sum _{m=1}^M{\beta }_{m}b(x_i;\gamma {}_m))$$

解决上述问题的一个思路就是前向分步算法，其具体的想法为：因为学习算法为加法模型，如果能从前往后，每一步只学习一个基函数及其系数，逐步逼近优化目标函数式(上式)，那么就可以简化优化的复杂度。
具体的，每一步只需要优化如下的损失函数，
$$\underset{\beta ,\gamma }{\min }\sum _{i=1}^{N}L(y_i,b(x_i;\gamma ))$$
具体的前向分布算法如下：

前向分步算法将同时求解从m=1到M的所有参数${\beta }_m,{\gamma }_m$的优化问题简化为逐步求解各个${\beta }_m,{\gamma }_m$的优化问题。

上述就是前向分步算法的主要思想，而AdaBoost就是前向分布算法的一个特例，因为在AdaBoost里，基函数为基本分类器，损失函数为指数损失函数。下面，就基于前向分步算法来推导AdaBoost。

当基函数为基本分类器时，前向分布算法中的加法模型等价于AdaBoost的最终分类器，
$$f(x)=\sum _{m=1}^M{\alpha }_m{G}_m(x)$$
其中，$G_m(x)$为基本分类器，${\alpha }_m$为基本分类器的系数。

当前向分布算法的损失函数为指数损失函数时，
$$L(y,f(x))=\exp (-yf(x))$$

由前向分步算法，在经过了m轮迭代后，有，
$$f_m(x)=f_{m-1}(x)+{\alpha }_m{G}_m(x)$$

求解目标是让求得的${\alpha }_m$和$G_m(x)$使$f_m(x)$在训练数据集T上的指数损失最小，即，
$$\begin{array}{l}({\alpha }_m,G_m(x))=\arg \underset{\alpha ,G}{\min }\sum _{i=1}^N\exp (-y_i(f_{m-1}(x_i)+\alpha G(x_i)))\\ \\ =\arg \underset{\alpha ,G}{\min }\sum _{i=1}^N\underset{{\bar{w}}_{mi}}{\underbrace{\exp (-y_i{f}_{m-1}(x_i))}}\exp (-y_i\alpha G(x_i)))\\ \\ =\arg \underset{\alpha ,G}{\min }\sum _{i=1}^N{\bar{w}}_{mi}\exp (-y_i\alpha G(x_i)))\end{array}$$

其中，${\bar{w}}_{mi}=\exp (-y_i{f}_{m-1}(x_i))$，之所以把该项单独分出来，是因为该项既不依赖于$\alpha$，也不依赖于$G$，与最小化无关，但其依赖于$f_{m-1}(x)$，随着每一轮的迭代而改变。
上式中优化的参数有两个$\alpha$和$G$，所以求解也分为两步，先求解$G$，再求解$\alpha$。
首先，求解G，G的含义为基本分类器，所以可由在训练集上最小化损失得到，
$$G_m(x)=\arg \underset{G}{\min }\sum _{i=1}^N{\bar{w}}_{mi}\left[\left[y_i̸=G(x_i)\right]\right]$$
之后，求解${\alpha }_m$，对式$({\alpha }_m,G_m(x))$进行简化，
$$\begin{array}{l}\sum _{i=1}^N{\bar{w}}_{mi}\exp (-y_i\alpha G(x_i)))\\ \\ =\sum _{i=1}^N{\bar{w}}_{mi}\exp (-y_i\alpha G(x_i)))\\ \\ =\sum _{y_i̸=G_m(x_i)}{\bar{w}}_{mi}{e}^{-\alpha }+\sum _{y_i=G_m(x_i)}{\bar{w}}_{mi}{e}^{\alpha }\\ \\ =(e^{\alpha }+e^{-\alpha })\sum _{i=1}^N{\bar{w}}_{mi}\left[\left[y_i̸=G(x_i)\right]\right]+e^{\alpha }\sum _{i=1}^N{\bar{w}}_{mi}\end{array}$$

对$\alpha$求导并等于0，得到最优解$\alpha$，其中目标函数$H(\alpha )=(e^{\alpha }+e^{-\alpha })\sum _{i=1}^N{\bar{w}}_{mi}\left[\left[y_i̸=G(x_i)\right]\right]+e^{\alpha }\sum _{i=1}^N{\bar{w}}_{mi}$ ，为了方便书写，这里的$\left[\left[y_i̸=G(x_i)\right]\right]$用$I$代替，
$$\begin{array}{l}\frac{\partial H}{\partial \alpha }=e^{\alpha }\sum {\bar{w}}_{mi}I+e^{-\alpha }\sum {\bar{w}}_{mi}I-e^{-\alpha }\sum {\bar{w}}_{mi}=0\\ \\ e^{\alpha }\sum {\bar{w}}_{mi}I=e^{-\alpha }(\sum {\bar{w}}_{mi}-\sum {\bar{w}}_{mi}I)\\ \\ \alpha +\ln \sum {\bar{w}}_{mi}I=-\alpha +\ln (\sum {\bar{w}}_{mi}-\sum {\bar{w}}_{mi}I)\\ \\ 2\alpha =\ln (\frac{\sum {\bar{w}}_{mi}-\sum {\bar{w}}_{mi}I}{\sum {\bar{w}}_{mi}I})\\ \\ \alpha =\frac{1}{2}\ln (\frac{\sum {\bar{w}}_{mi}}{\sum {\bar{w}}_{mi}I}-1)\end{array}$$
一般，令$e_m=\frac{\sum _{i=1}^N{\bar{w}}_{mi}I}{\sum _{i=1}^N{\bar{w}}_{mi}}=\frac{\sum _{i=1}^N{\bar{w}}_{mi}\left[\left[y_i̸=G_m(x_i)\right]\right]}{\sum _{i=1}^N{\bar{w}}_{mi}}$，则$\alpha$为，
$${\alpha }_m=\frac{1}{2}\ln (\frac{1-e_m}{e_m})$$

最后，再来看一下每一轮样本权值的更新，因为${\bar{w}}_{mi}=\exp (-y_i{f}_{m-1}(x_i))$，所以在第m+1轮有，
$$\begin{array}{l}{\bar{w}}_{m+1,i}=\exp (-y_i{f}_m(x_i))\\ \\ =\exp (-y_i(f_{m-1}(x_i)+{\alpha }_m{G}_m(x_i)))\\ \\ ={\bar{w}}_{mi}\exp (-y_i{\alpha }_m{G}_m(x_i))\end{array}$$
这里如果对${\bar{w}}_{mi}$规范化，即，使得$\sum _{i=1}^N{w}_{mi}=1$ ，则有，
$$w_{mi}=\frac{{\bar{w}}_{mi}}{\sum _{i=1}^N{\bar{w}}_{mi}}$$
那么，第m+1轮规范化后的样本权值为，
$$w_{m+1,i}=\frac{w_{mi}}{Z_m}\exp (-y_i{\alpha }_m{G}_m(x_i))$$
其中 $Z_m=\sum _{i=1}^N{w}_{mi}\exp (-y_i{\alpha }_m{G}_m(x_i))$。

以上就是，AdaBoost算法的推导，那么写成算法形式为，

最后，来看一下有关AdaBoost算法的一些含义解释。

首先，在刚开始的时候，假设训练集具有均匀的权值分布，即，训练集里的每条样本数据都具有相同的权值，为$\frac{1}{N}$。这能保证在原始数据上学习得到基本分类器$G_1(x)$。
而后的每一轮迭代，改变的其实只有两个量，一个是样本权重$w_{mi}$，另一个是基本学习器的系数(权重) ${\alpha }_m$。在每一轮$m=1,2,\cdots ,M$顺次地执行下列操作：
1.使用当前加权的训练集$D_m$，学习基本分类器$G_m(x)$。其实该步骤更新了$G_m(x)$里的参数${\gamma }_m$。
2.计算$G_m(x)$在加权数据集$D_m$上的分类误差率，
$$e_m=\sum _{i=1}^N{w}_{mi}\left[\left[G_m(x_i)̸=y_i\right]\right]=\sum _{G_m(x_i)̸=y_i}{w}_{mi}$$
$w_{mi}$表示第m轮中第i个样本的权值，因为是规范化之后的，所以$\sum _{i=1}^N{w}_{mi}=1$。则这里的分类误差率表示的是被$G_m(x)$误分类的样本权值之和。
3.计算基本分类器$G_m(x)$的系数${\alpha }_m$，
$${\alpha }_m=\frac{1}{2}\ln (\frac{1-e_m}{e_m})$$
图像如下图，

这里的${\alpha }_m$表示的是 在最终分类器中的重要程度。由函数图像可知，当$e_m\le \frac{1}{2}$时，${\alpha }_m\ge 0$，并且${\alpha }_m$随$e_m$的减小而增大，所以分类误差率越小的基分类器在最终分类器中的作用就越大。
4.更新样本集的权值分布，为下一轮做准备，这里的权值更新式$w_{m+1,i}=\frac{w_{mi}}{Z_m}\exp (-{\alpha }_m{y}_i{G}_m(x_i))$可以改写成，
$$w_{m+1,i}=\{\begin{array}{c}\frac{w_{mi}}{Z_m}{e}^{-{\alpha }_m},G_m(x_i)̸=y_i\\ \\ \frac{w_{mi}}{Z_m}{e}^{{\alpha }_m},G_m(x_i)=y_i\end{array}$$

由上式可知，被基本分类器$G_m(x)$误分类的样本的权值得以扩大，而被正确分类的样本的权值得以缩小。其中，误分类样本的权值被放大了$e^{2\alpha }=\frac{1-e_m}{e_m}$倍。这就说明，误分类的样本在下一轮学习中起到了更大的作用。不改变所给的训练集，而不断改变样本的权值分布，使得训练集在基本分类器中的学习起到了不同的作用，这其实就是统计学里的boostrapping操作，即，在一个样本集里进行N次有放回的抽样，这也是AdaBoost的一个特点。
最终分类器是由M个基本分类器线性组合而成，这是AdaBoost的另一个特点。系数${\alpha }_m$表示了基本分类器$G_m(x)$的重要性，所有的${\alpha }_m$之和并不为1。最终的分类器f(x)的符号决定了实例所属的类别，而绝对值表示了分类的确信度。