一、SVM的动机：大间隔分类器

1、逻辑回归回顾

• 假设函数为 sigmoid 函数：
  $$h_{\theta }(x)=\frac{1}{1+e^{-{\theta }^{T}x}}$$

• 分类依据是 $h_{\theta }(x)\ge 0.5$ 为正类，反之为负类。

2、SVM 的思路

• SVM 不采用 sigmoid，而是直接构造优化目标：
  • 最大化间隔（margin）：希望分类边界离最近的点尽可能远。
• 构造代价函数时：
  • 对正类样本 $y=1$，如果 ${\theta }^{T}x\ge 1$ 则无惩罚，否则惩罚。
  • 对负类样本 $y=0$，如果 ${\theta }^{T}x\le -1$ 则无惩罚，否则惩罚。

二、SVM 的代价函数与优化

1、硬间隔 vs 软间隔

• 硬间隔（hard margin）：
  • 不允许分类错误，适合线性可分的情况。
• 软间隔（soft margin）：
  • 允许一定的错误分类，提升鲁棒性。

2、SVM 的标准形式

目标函数如下：
$$\underset{\theta }{\min }\frac{1}{2}\Vert \theta {\Vert }^2+C\sum _{i=1}^m\text{cost}(h_{\theta }(x^{(i)}),y^{(i)})$$
其中：

• $||\theta {\Vert }^2$ 控制模型复杂度（间隔）。
• $C$ 控制对错误分类的惩罚程度。
• $\text{cost}(\cdot )$ 是 hinge loss。

三、支持向量与最大间隔的直观理解

• 训练集中距离分类边界最近的点称为支持向量，它们决定了最终的分类超平面。
• 最大化间隔等价于最小化 $||\theta {\Vert }^2$。

四、核函数（Kernel Function）

1、核函数的作用

• 核函数可将输入数据映射到更高维空间，在高维空间中实现线性可分。
• 避免显式计算高维特征，用核技巧计算内积。

2、常见核函数

• 线性核（Linear Kernel）：
  $$K(x,z)=x^{T}z$$

• 多项式核（Polynomial Kernel）：
  $$K(x,z)=(x^{T}z+c{)}^d$$

• 高斯核 / RBF（Radial Basis Function）：
  $$K(x,z)=\exp \left(-\frac{\Vert x-z{\Vert }^2}{2{\sigma }^2}\right)$$

3、高斯核的参数选择

• σ（或 γ）控制分布宽度：
  • σ 小 → 拟合更 “尖锐”，可能过拟合。
  • σ 大 → 拟合更平滑，可能欠拟合。

五、SVM 的使用建议

1、特征缩放

• 特征归一化非常重要，尤其在使用核函数时，避免某些维度主导距离计算。

2、SVM 的优点

• 通常表现优于逻辑回归，尤其在特征维度高、样本数较少的场景。
• 在文本分类、图像识别中表现优异。

3、与其他模型的对比

特点	逻辑回归	支持向量机
分类边界	最大似然	最大间隔
可扩展到核函数	较难	支持各种核函数
参数解释性	较强	较弱
小样本泛化能力	一般	强

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六、SVM 的训练与实现

1、训练库推荐

• 推荐使用现有库如：
  • LIBSVM：C++ 实现，接口广泛。
  • Scikit-learn 中的 sklearn.svm.SVC
  • MATLAB/Octave 中也有内建支持。

2、超参数调优建议

• 交叉验证选取最佳的：
  • 惩罚参数 C。
  • 核函数参数（如 σ）。