在离散神经网络控制系统中，常采用梯度下降法实现神经网络权值的学习。

一、基于RBF神经网络的监督控制

基于RBF神经网络的监督控制：初始阶段采用PD反馈控制，然后过渡到神经网络控制。在控制过程中，如果出现较大的误差，则PD控制起主导作用，神经网络控制起调节作用。

总的控制输入为$u(k)=u_n(k)+u_p(k)$，误差指标为 （有点儿费解）：
$$E(k)=\frac{1}{2}(u_n(k)-u(k){)}^2$$

采用梯度下降法，网络权值学习算法为：
$$\begin{array}{rl}& \Delta w_j(k)=-\eta \frac{\partial E(k)}{\partial w_j}=\eta (u_n(k)-u(k))h_j(k)\\ & w_j(k)=w_j(k-1)+\Delta w_j(k)+\alpha (w_j(k-1)-w_j(k-2))\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中，$\eta$为学习速率，$\eta \in [0,1]$；$\alpha$为动量因子，$\alpha \in [0,1]$。

二、基于RBF神经网络的模型参考自适应控制

什么是学习呢？就是根据一定的规则（梯度下降法），通过加入新的数据来不断调整神经网络的参数。

这一部分的思想和笔记-神经网络滑模控制设计方法的《基于神经网络的直接自适应滑模控制》类似。

设理想跟踪指令为$y_m(k)$，定义跟踪误差为：
$$e(k)=y_m(k)-y(k)$$

网络权值学习误差指标为：
$$E(k)=\frac{1}{2}e(k{)}^2$$

控制输入为RBF神经网络的输出：
$$u(k)=h_1{w}_1+\cdots +h_j{w}_j+\cdots +h_m{w}_m$$

其中，$m$为隐藏层的节点个数，$w_j$为节点的权值，$h_j$为高斯基函数的输出。

根据梯度下降法，网络的学习算法为：
$$\begin{array}{rl}& \Delta w_j(k)=-\eta \frac{\partial E(k)}{\partial w}=\eta e_c(k)\frac{\partial y(k)}{\partial u(k)}{h}_j\\ & w_j(k)=w_j(k-1)+\Delta w_j(k)+\alpha \Delta w_j(k)\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中，$\eta$为学习速率，$\eta \in [0,1]$；$\alpha$为动量因子，$\alpha \in [0,1]$。

同理，可得：
$$\begin{array}{rl}& \Delta b_j(k)=-\eta \frac{\partial E(k)}{\partial b_j}=\eta e_c(k)\frac{\partial y(k)}{\partial u(k)}\frac{\partial u(k)}{\partial b_j}=\eta e_c(k)\frac{\partial y(k)}{\partial u(k)}{w}_j{h}_j\frac{||\mathbf{x}-{\mathbf{c}}_{i}j|{|}^2}{b_j^3}\\ & b_j(k)=b_j(k-1)+\eta \Delta b_j(k)+\alpha \left(b_j(k-1)-b_j(k-2)\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

和
$$\begin{array}{rl}& \Delta c_{ij}(k)=-\eta \frac{\partial E(k)}{\partial c_{ij}}=\eta e_c(k)\frac{\partial y(k)}{\partial u(k)}\frac{\partial u(k)}{\partial c_{ij}}=\eta e_c(k)\frac{\partial y(k)}{\partial u(k)}{w}_j{h}_j\frac{x_i-c_{ij}}{b_j^2}\\ & c_{ij}(k)=c_{ij}(k-1)+\eta \Delta c_{ij}(k)+\alpha \left(c_{ij}(k-1)-c_{ij}(k-2)\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中，$\frac{\partial y(k)}{\partial u(k)}$为Jacobian矩阵，表征系统输出对控制输入的灵敏度。

三、RBF自校正控制

即用RBF神经网络逼近被控对象的未知部分，其设计思想和笔记-神经网络滑模控制设计方法的《一种简单的RBF网络自适应滑模控制》类似。

四、总结

1. 《RBF神经网络自适应控制MATLAB仿真》一书，RBF神经网络的作用和多项式逼近、模糊逼近等是一样的，都满足万能逼近原理，用来逼近/拟合模型未知部分。
2. 感觉和局部线性化思想有点共通的地方。
3. 为什么叫“学习算法”呢？就是根据一定的规则（比如本书第三章的梯度下降法），随着数据的增加，对RBF神经网络中的参数进行调整。

什么是快乐星球，什么是快乐星球，如果你想知道什么是快乐星球的话，我现在就带你研究，什么是快乐星球。

参考文献

1. 刘金琨. RBF神经网络自适应控制matlab仿真[M]. 清华大学出版社, 2014.