一、问题引入：

        八皇后问题：如何能够在8×8的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何⼀个皇后都无法直接吃掉其他的皇后（即任两个皇后都不能处于同⼀条横⾏、纵行或斜线上）？请求出八皇后问题的所有解。

二、分析问题：

        我们人类如何手动摆放八个皇后呢。思考后得出人类的摆放方式如下：

①在第一行的第一个位置摆放一个皇后

        ②在第二行的第一个位置摆放一个皇后，不满足规则，移除

        ③在第二行的第二个位置摆放一个皇后，不满足规则，移除

        ④在第二行的第三个位置摆放一个皇后

                ⑤在第三行的第一个位置摆放皇后，不满足规则，移除

                ……

                ⑥在第三行的第五个位置摆放皇后

                        ……

        总之我们每摆放一个皇后，都会判断它是否会被棋盘上已存在的皇后吃掉。这是一个很聪明的算法，比暴力枚举快多了。

        还有一个问题：万一第八个皇后摆哪里都会被吃掉，那该怎么办？那一定是第七个皇后摆放的列有问题。我们需要把第七个皇后移动到下一个允许的列，再重新摆放第八个皇后。

        又出现一个问题：第七个皇后已经到了最后一个允许的列了，怎么办？很简单，把第六个皇后移动到下一个允许的列，再重新摆放第七个皇后。

        以此类推，当第二个皇后无处可摆时，我们就会把第一个皇后从第一列移动到第二列，然后重复上面引用块中的操作。

        这就是回溯算法的大致思路，下面将用递归的方法实现。

三、回溯算法

1.解决问题的过程：

        我们定义一个函数solve_n_queens()，函数中传入参数n表示棋盘的大小；用一个一维列表代表棋盘（想想看为什么没必要用二维列表？），索引代表行，元素的值代表皇后所在的列，一开始棋盘是空的，所以就把所有元素都设置为-1；用result列表储存所有可能的解（result的元素类型是什么？）：

import copy

def solve_n_queens(n):
    # 棋盘
    board = [-1]*n
    # 存储所有解
    result = []

        上面引入了copy包进行深度拷贝。

        写一个判断该棋子是否会被前几行的皇后吃掉的函数：

    #检测冲突
    def is_valid(row, col):
        for i in range(row):
            if abs(row-i) == abs(board[i]-col) or board[i] == col:
                return False
        return True

        紧接着是代码的核心，通过递归的方法实现回溯：

    # 回溯（递归）添加行
    def create(row):
        if row == n:
            result.append(board.copy())
            return
        for i in range(n):
            if is_valid(row, i):
                board[row] = i
                create(row+1)
                board[row] = -1

       分析一下上面的函数，循环中的i代表列数，即从这一行的第一列开始尝试摆放皇后，如果没有冲突，把此时的列添加进解后，就开始摆放下一行，第row行第i列的可能性尝试尽后，重置该行的解，并尝试在该行的下一个可能的列中摆放皇后。

       如果row的大小刚好超过了列表的最大索引，就说明最后一行的皇后摆放成功了！我们将整个board添加进解集（即result列表）中，并直接返回。

       最后再加上一个打印所有解的棋盘的函数：

    # 打印棋盘
    def printb():
        for b in result:
            for i in range(n):
                for j in range(n):
                    if b[i] == j:
                        print("Q", end = '')
                    else:
                        print("□", end = '')
                print()
            print()

        print("共有", len(result), "组解。")

        在solve_n_queens()内依次调用create()函数（传入参数为0，即从第一行开始寻找解）和printb()函数。在solve_n_queens()外部调用solve_n_queens()，传入的参数（即棋盘大小）任意。

    create(0)
    printb()

solve_n_queens(9)

2.完整代码

import copy

def solve_n_queens(n):
    # 棋盘
    board = [-1]*n
    # 存储所有解
    result = []

    #检测冲突
    def is_valid(row, col):
        for i in range(row):
            if abs(row-i) == abs(board[i]-col) or board[i] == col:
                return False
        return True

    # 回溯（递归）添加行
    def create(row):
        if row == n:
            result.append(board.copy())
            return
        for i in range(n):
            if is_valid(row, i):
                board[row] = i
                create(row+1)
                board[row] = -1

    # 打印棋盘
    def printb():
        for b in result:
            for i in range(n):
                for j in range(n):
                    if b[i] == j:
                        print("Q", end = '')
                    else:
                        print("□", end = '')
                print()
            print()

        print("共有", len(result), "组解。")

    create(0)
    printb()

solve_n_queens(8)

四、深度思考：

1.回溯算法的本质：

        回溯算法的本质是对超大树的深度优先搜索，因为树是很大的，需要进行剪枝，即搜索到一个满足特定条件的节点后，返回上一个节点继续搜索，防止把时间浪费在遍历那个特殊节点下方的枝叶。

        以下是一般化的回溯算法解决问题的流程：

回溯法步骤:
①定义解空间（描述解）：用什么向量表示问题的解？向量中的每个变量如何取值？
②确定解空间的结构（画地图、做选择）：子集树?排列树? m叉树?以及每个节点和边的含义。
③确定剪枝函数（约束）：提前终止不符合条件的分支，以深度优先搜索解空间。
④撤销选择（回溯）：每次递归后恢复上一步状态。

2.逻辑约束问题（CLP）

        在文章的开头，我们用人的解决问题的逻辑引入了回溯算法。这是不是有一点点人工智能的味道了？下面我们介绍一种早期人工智能典型的编程范式。

        逻辑编程是⼀种编程典范，它设置答案须匹配的规则来解决问题，而非设置步骤来解决问题。过程是“事实+规则=结果”。人工智能的发展与逻辑编程的发展是⼀个相辅相成的过程，早期的人工智能以规则和逻辑推理作为主要研究方向，这在逻辑编程的发展中发挥了重要的影响，另外更好更快的逻辑编程也推动了人工智能的发展，例如专家系统、知识图谱和自动定理证明。

        逻辑约束问题是一类特殊的约束满足问题（CSP），它通过逻辑编程的方式声明变量之间的约束关系，由系统寻找满足所有约束的解。
        核心要素：

变量：需要确定值的未知量
值域：每个变量可能的取值范围
约束：变量间必须满足的关系

        适用场景：逻辑编程特别适合规则逻辑明确但解空间复杂的场景。例如：工作表编排、物流配送规划等