n=100;
x=randn(n,2);
x(1:n/2,1)=x(1:n/2,1)-4;
x(n/2+1:end,1)=x(n/2+1:end,1)+4;
x=x-repmat(mean(x),[n,1]);
y=[ones(n/2,1);2*ones(n/2,1)];

Sw=zeros(2,2);
Sb=zeros(2,2);
for j=1:2
    p=x(y==j,:);
    p1=sum(p);
    p2=sum(p.^2,2);
    nj=sum(y==j);
    W=exp(-(repmat(p2,1,nj)+repmat(p2',nj,1)-2*p*p'));
    G=p'*(repmat(sum(W,2),[1 2]).*p)-p'*W*p;
    Sb=Sb+G/n+p'*p*(1-nj/n)+p1'*p1/n;
    Sw=Sw+G/nj;
end
[t,v]=eigs((Sb+Sb')/2,(Sw+Sw')/2,1);

figure(1);
clf;
hold on;
axis([-8 8 -6 6]);
plot(x(y==1,1),x(y==1,2),'bo');
plot(x(y==2,1),x(y==2,2),'rx');
plot(99*[-t(1) t(1)],99*[-t(2) t(2)],'k-');

这里是对代码中每个参数的解释：

n: 样本数量，这里设置为100。

x: 大小为n×2的随机样本矩阵，其中每一行表示一个样本，有两个特征。

x(1:n/2,1) = x(1:n/2,1) - 4;：将第一列中前一半的样本减去4。

x(n/2+1:end,1) = x(n/2+1:end,1) + 4;：将第一列中后一半的样本加上4。

x = x - repmat(mean(x), [n,1]);：对整个样本矩阵进行均值归零化，即减去样本均值。

y = [ones(n/2,1); 2*ones(n/2,1)];：标签向量，长度为n，前一半为1，后一半为2，表示两个类别。

Sw：类内散布矩阵（Within-Class Scatter Matrix），初始化为2×2的零矩阵。

Sb：类间散布矩阵（Between-Class Scatter Matrix），初始化为2×2的零矩阵。

for j = 1:2：循环遍历两个类别。

p = x(y == j, :);：选择第j个类别的样本子集。

p1 = sum(p);：计算样本子集p中每个特征的总和。

p2 = sum(p.^2, 2);：计算样本子集p中每个样本的特征平方和。

nj = sum(y == j);：计算第j个类别的样本数量。

W = exp(-(repmat(p2, 1, nj) + repmat(p2', nj, 1) - 2*p*p'));：计算权重矩阵W，其中W的元素根据样本之间的距离进行计算。

G = p'*(repmat(sum(W,2), [1 2]).*p) - p'*W*p;：计算类间散布矩阵的贡献项G。

Sb = Sb + G/n + p'*p*(1 - nj/n) + p1'*p1/n;：将类间散布矩阵的贡献项G累积到Sb中。

Sw = Sw + G/nj;：将类内散布矩阵的贡献项G累积到Sw中。

[t, v] = eigs((Sb+Sb')/2, (Sw+Sw')/2, 1);：通过求解广义特征值问题，得到最大广义特征值对应的特征向量t。

figure(1);：创建一个图形窗口。

plot(x(y == 1, 1), x(y == 1, 2), 'bo');：绘制类别1的样本点，蓝色圆圈。

plot(x(y == 2, 1), x(y == 2, 2), 'rx');：绘制类别2的样本点，红色叉叉。

plot(99*[-t(1) t(1)], 99*[-t(2) t(2)], 'k-');：绘制投影方向的直线，黑色实线。





重难点：
G表示类间散布矩阵（Between-Class Scatter Matrix）的贡献项

G = p' * (repmat(sum(W,2), [1 2]) .* p) - p' * W * p;
让我们逐步解释这个计算过程：

p 是一个包含特定类别 j 的样本子集。

sum(W,2) 计算了 W 的每一行的和，结果是一个列向量。它表示了每个样本与其他样本的权重之和。

repmat(sum(W,2), [1 2]) 将 sum(W,2) 的列向量复制为一个矩阵，维度与样本矩阵 p 相同。这样做是为了后续的矩阵相乘操作。

p' * (repmat(sum(W,2), [1 2]) .* p) 这部分是计算类间散布矩阵的贡献项。首先，通过点乘操作 repmat(sum(W,2), [1 2]) .* p 将每个样本乘以对应的权重。然后，将结果与样本矩阵 p 进行转置相乘，得到一个贡献项矩阵。

p' * W * p 是计算类内散布矩阵的贡献项。它表示将样本矩阵 p 与权重矩阵 W 相乘后的结果。

G = p' * (repmat(sum(W,2), [1 2]) .* p) - p' * W * p 将类间散布矩阵和类内散布矩阵的贡献项相减，得到最终的 G。

通过循环遍历每个类别，并累积每个类别的 G，代码将计算出完整的类间散布矩阵 Sb 的贡献项。