什么是标准库

c标准库，是针对c语言本身来说的，与平台无关。截至c11标准，它共包含29个头文件。
c++标准库，是c标准库的一个超集，它把原来的c标准库名称做了修改（去掉.h, 开头添加c,例如time.h变为ctime）。

什么是运行库

c运行库，是和平台相关的，也就说和操作系统相关，windows系统有windows的运行库，linux有linux的运行库。
c运行库， 也就是c run time library(CRT) 是c语言中的概念,运行时库一般都是用汇编直接实现的。

什么是API函数

这是针对操作系统而言的，API函数也是用c语言的函数实现的。
标准库、运行库、API的关系可以用下图简要说明：

单纯的c/c++是不能做到平台无关性的，关于跨平台的相关问题，参见博文《c为什么不能跨平台》。
另外，关于c运行库、标准库、windowAPI的相关问题参见博文《c运行库、c标准库、windows API的区别和联系》。