这是第一篇博客，前两周开始接触高光谱图像处理中的目标检测，试着总结一下自己学习到的概念和算法。

1. Spectral Variability Models

一种物质理论上完全固定不变的光谱是不存在的，因为从一种物质中取得的样本不可能总是一模一样的。但是对不同样本测得的光谱特性是保持一致的，如下图：

一个确定的有K个波段的光谱曲线在K维空间中对应一个确定的向量（deterministic vector），同时采样得到的其他光谱向量（spectra with variability）会在此向量顶点周围形成一片云。主要有3个模型来描述光谱特性的这种变异性（variability）
1. 概率密度模型（probability density models）
认为光谱的variability是多变量正态分布的模型。
2. 子空间模型（subspace models）
光谱向量的顶点可能在在K维空间中任意一个位置。因此一个像素中亮度的变化会引起向量长度的改变，而向量的方向不改变。所以可以这样理解：亮度导致的variability是被局限在K维空间中一个一维子空间中。定义M维子空间 ，其中M<K<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1">M 观测到的一个光谱向量x的数学表达为：x=∑Nk=1aksk+w=Sa+w<script type="math/tex" id="MathJax-Element-2">x = \sum_{k=1}^N a_k s_k + w = Sa +w </script>
假设条件：sk<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3">s_k</script> 为线性不相关的基向量或者矩阵S为满秩的，sk<script type="math/tex" id="MathJax-Element-4">s_k</script> 的线性组合（ak<script type="math/tex" id="MathJax-Element-5">a_k</script>）再加入误差向量w即构成x的子空间模型。
3. 线性光谱混合模型（linear spectral mixing models）
使用最广泛的光谱混合模型，假设观测到的光谱是端元的线性组合，数学定义为：
x=∑Mk=1aksk+w=Sa+w<script type="math/tex" id="MathJax-Element-6"> x = \sum_{k=1}^M a_k s_k + w = Sa +w </script>
∑Mk=1ak=1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-7"> \sum_{k=1}^M a_k = 1</script> (additivity constraint)
ak≥0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-8"> a_k \ge 0</script> (positivity constraint)
求解问题会使用到的凸集的概念（convex sets）
这是一个凸最优化问题（convex optimization）

2. Design, Evaluation, and Taxonomy of Target Detectors

• binary hypothesis testing
  Likelihood ratio： Λ(x)=p(x|targetpresent)p(x|targetabsent)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-9"> \Lambda(x) = \frac{p(x | target present )}{p(x | target absent)}</script>
  如果LR超过某个设定的阈值，可以认为“目标存在”为真。检测统计值（Detection statistic）y=function(x), 将y与阈值η比较
  阈值η的选择是在漏掉目标（target miss）和虚警（false alarms）之间的一个权衡。
• ROC曲线：receiver operating characteristic。PD<script type="math/tex" id="MathJax-Element-10">P_D</script>是目标检测到的概率，PFA<script type="math/tex" id="MathJax-Element-11">P_FA</script>是虚警的概率。 分别以PD<script type="math/tex" id="MathJax-Element-12">P_D</script>和PFA<script type="math/tex" id="MathJax-Element-13">P_FA</script>为纵横坐标轴，描出所有阈值η选择下的点形成的曲线为ROC曲线。
  目标检测相比于分类的难度在于目标类中的像素数目非常稀少。
  Constant false-alarm-rate detectors
  需要自动设立一个合适的检测阈值。假报警率高会导致系统overload，浪费进程和资源
  CFAR算法：constant false alarm rate。并且能对噪声和背景variation免疫。
• Detectors for full-pixel targets
  假设目标和背景像素不包含混合的光谱，可用的检测方法有：
  LRT： likelihood ratio test
  Neyman-Pearson detector
  Quadratic detector (马氏距离的比较)
  如果背景和目标的协方差矩阵同，那么使用matched filter detector.
  Fisher’s linear discriminant
  如果协方差矩阵是单位矩阵的形式，那么马氏距离就会简化为欧氏距离。
  匹配滤波算法的表现取决于目标和背景之间的马氏距离。
  constrained energy minimization CEM算法
  协方差矩阵相同：异常检测器 anomaly detector
  adaptive detector
  optimum anomaly detector
  
  • 马氏距离越远，ROC曲线越好，即在相同的虚警率限制下PD<script type="math/tex" id="MathJax-Element-14">P_D</script>越高。（可以理解为背景与目标的cluster离的远，decision boundary能分的更清）
  • 相同的马氏距离，K（带数）越大，ROC曲线越不理想。K=2时背景与目标在二维图像下decision boundary可以分的很清，K=144时很难分开
• detectors for subpixel targets
  目标只占一个像素中的一部分，像素的其他部分为一种或多种物质，为背景。
  Sa<script type="math/tex" id="MathJax-Element-15">Sa</script> 表示，其中S的每个列向量表示为端元，a表示端元的丰度且要满足线性混合模型的限制条件。可使用子空间模型（结构化的背景）或者统计分布模型（非结构化的背景）
  子空间模型 GLRT检测：
  假设1. 背景是单一的且可以用多变量正态分布表示
  假设2. 用于训练和检测的背景的光谱是一样的
  假设3. 训练和测试集是独立的
  假设4. 目标与背景的关系的相加的关系（additive）而不是替代的关系（replacement）
  S矩阵包含了关于目标的先验信息，列数P表示目标子空间的维数，P越大，信息量越少。当S满秩时，不可逆。

目标检测算法整理表：

1. Manolakis D, Marden D, Shaw G A. Hyperspectral Image Processing for Automatic Target Detection Applications[J]. 2003.