1引言点源二维电阻率法作为电法勘探技术的分支,广泛应用于水、工、环等地球物理勘探领域。开展点源二维电阻率法正演研究,能够提高反演计算精度、地质解释准确性,更好地指导实际生产。电法正演模拟方法分三类:解析法、物理模拟法和数值模拟法[1]。由于解析法和物理模拟法不适合场源和物性分布复杂的正演情况,数值模拟法已成为电阻率法正演最主要的方法。电法数值模拟方法有:有限差分法,有限元法[2,3],积分方程法[4],边界单元法[5]。有限差分法不涉及计算耗时的偏导数运算,计算简便速度较快,但当物性参数分布复杂或场域的几何特征不规则时,适应性比较差。积分方程法和边界单元法由于其降维的特点具有较高的计算效率,但只适用简单模型的正演计算。有限元法具有较高的求解精度且理论较为成熟,能够适应任意模型形态。因此,有限元法现已是解电法正演问题的主流方法[6,7],本文利用有限元法正演模拟点源二维电场,采用三角形剖分和线性插值方式,取得了较好的模拟效果。2点源二维电场边值问题2.1点源二维电场边值问题点源二维电场边值问题表示如下[8]:x(ux)+y(uy)+2uz2=-21(xA)(yA)(zA)un=0su=cr烅烄烆(1)式中:u为电位值,为电导率,xA,yA,zA为电源点坐标,I为电流,为函数。边界条件说明:令一个足够大的区域代替地下半无限空间。在地下作一个半径足够大的圆柱面,它与地面s组成一个封闭的区域,+s是的外边界,外边界的条件为:1)在地面s上,电流沿地表流动,因此,电位的法向导数为零:uns=0;2)在无穷远边界上,假定区域内部的电性不均匀性对上的电位分布不发生影响,其电位是点电源电位,即:u/=c/r。式中:c是比例系数,r是电源点A至边界的距离。2.2傅里叶变换对式(1)在z方向做傅里叶变换[9,10],将三维(x,y,z)边值问题转换为二维(x,y)边值问题:(U)-k2U=-1(xA)(yA)Un=0sUn+kK1(kr)K0(kr)cos(r,n)U=0烅烄烆(2)式中:为二维哈密顿算子,U为u的傅里叶变换值,k为波数,K0为第二类零阶修正贝塞尔函数,K1为第二类一阶修正贝塞尔函数,r为边界上的点至坐标原点的距离。3有限元法解变分问题二维边值问题(2)与下列变分问题等价[11]:F(U)=2(U)2+12k2U2-1(A)[]Ud+12kK1(kr)K0(kr)cos(r,n)U2dF(U)=烅烄烆0(3)有限单元法是解变分问题的最有效方法之一,它是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。3.1单元剖分先将积分区域进行四边形规则离散化,然后对四边形再进行三角剖分,剖分方式如图1。图1单元剖分方式Fig.1Themethodofcellsdivision3.2求解(3)式单元积分1)计算第一项单元积分:e2(Ue)2d=e2(Uex)2+(Uey)[]2dxdy=12UTeK1eUeK1e=142(asat+bsbt),s,t=i,j,m式中:ai=yj-ym,bi=xm-xj,aj=ym-yi,bi=xi-xm,am=yi-yj,bm=xj-xi,为电导率,Ue为三角单元节点电位向量(Uei,Uej,Uem)T,i,j,m为节点编号,(xi,j,m,yi,j,m)为三角单元节点坐标,为三角单元面积。2)计算第二项单元积分:e12k2U2ed=12k22UTeeLTLdUe=12UTeK2eUeK2e=(kst),kst=k2eLsLtd,s,t=i,j,m式中:eLsLtd=6。3)计算第四项单元积分:e12kK1(kr)K0(kr)cos(r,