你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。

前两节课，我们讲了微分，它解决的问题是：如何从宏观变化了解微观趋势？今天我们讲积分，它和微分刚好相反，是从微观去看宏观变化。

我们还是先从两个例子入手。

例一：闯红灯的算术题

假如你开车在大街上按照每小时36公里的速度前进，道路的限速是每小时72公里(虽然70公里的限速更常见，但是为了方便计算，我假设是72公里)。

当你离红绿灯还有70米时，变为黄灯了，黄灯会持续4秒钟变成红灯。这时你前面没有车，或者前面的车正在加速，不会成为你加速的障碍，那么是否该迅速加速闯过去？还是干脆减速停下来等绿灯？

现在我们就来计算一下是否能够在不超过限速的情况下在4秒以内行驶完70米。我们先把时速换成每秒的速度，每小时36公里就是每秒钟10米，这大约是百米运动员的冲刺速度。类似的，每小时72公里，就等同于每秒钟20米。

如果我们不加速，4秒钟只能走过40米，肯定是过不去了。如果我们能瞬间提速到每小时72公里，那么4秒钟可以走完80米，就能合法地在交通灯变红之前经过路口。那么接下来的问题是，我们需要加速多快才能行？

我们假定是匀加速的，每秒能加速a米/秒，也就是说一秒钟后你的速度能够从10米/秒提升到(10+a)米每秒。由于最终的速度是20米/秒，因此加速的时间是10/a秒。我把速度和加速度的关系用下面的图表示出来。

在图中上方的折线代表速度函数，它和时间相关，是时间的函数，我们用V(t)表示。一开始是每秒10米，后来，也就是经过10/a秒钟之后，提升到每秒20米，然后是匀速。

在这样变速的行进过程中，4秒钟走过多少距离呢？我们从上面的图中可以看出，这个距离就是阴影中所画的多边形的面积(因为时间也就是横坐标，乘以速度也就是纵坐标，就是距离)，它等于80-50/a。

如果我们想要它大于70，那么a就必须大于5米/秒^2的加速度，也就是0.5G的加速度，非常高。今天性能好的汽车可以做到这一点，但并不是所有的汽车都能做到。因此从安全考虑，大家在红绿灯处就不要抢最后的几秒钟了。

这个例子里给定一个曲线，求它下方直到x轴之间的面积，这就是积分。对于一般速度曲线，它下面到x轴的面积就是按照这个速度走过的距离。因此，我们可以讲距离是速度的积分。此前我们还讲过速度是距离变化的微分，由此可见微分和积分是互为逆运算的。

那么积分是怎么计算的呢？我们还是以速度和距离的关系为例来说明。

下图是一个具有一般性的速度曲线图。我要算曲线下方到x轴之间的面积不容易直接计算。于是我们就把这条曲线的面积分为很多份，每一份对应一个长方形，然后我们算出每一个长方形的面积，再把它们加起来就可以了。

当然这么计算一定有误差，不过没有关系，当我们把每一份分得非常非常小，小到无穷小，那么这个误差就趋近于零了。我们在前面学习了极限的概念，应该不难理解这一点。

那么积分思想的本质是什么？它是要从动态变化来看累积效应。比如对于速度来讲，累积效应就是走过的距离。如果我们做匀速运动，速度是个常数，它的曲线就是在坐标轴上和横轴平行的直线，因此走过的距离是速度乘以时间，是个长方形。

但事实上，速度是一个随着时间不断变化的函数，忽快忽慢，那么在这样的速度下走过的距离就需要考虑每一时刻的动态变化了，积分就是提供这样的工具。在没有积分这个工具之前，人们只能通过平均值，大致了解累积效应，但是估计得非常不准确。有了积分，就能把握每一个细节对最后整体的影响了。这是它的第一个意义。

积分的第二个意义是从微观上每一时刻动态的变化理解宏观上积累的效果。

例二：公司利润问题

我们假设有两家上市公司，上市时利润水平差不多，假定两家公司都是每个季度盈利一亿元。接下来第一家公司的季度盈利情况这样的，1.2亿、1.4亿、1.6亿、1.8亿……换句话说，每个季度的盈利是0.2亿，我们把它们写成一个公式，就是1亿x(1+0.2N)，其中N是代表第N个季度。

第二家公司的盈利情况是1.1亿、1.21亿、1.331亿……也就是每次增长前一个季度的0.1倍，我们也可以把它写成一个公式，即1亿x1.1^N。接下来我们就来算算哪家公司5年内挣钱多。

大家可以自己算一下，可能很多人会直接算第五年最后一个季度是多少，觉得第一家公司的利润是线性增长，直到第五年最后一季度才达到5亿元，而第二家公司的利润呈指数增长，第五年最后一个季度是6.7亿元，而它们起步都差不多，因此一定是第二家公司五年累积得多得多。

这个想法非常合乎直觉，但是对不对呢？我们需要算一算。

我们可以把利润理解为刚才讲的速度，也就是纵坐标，那么利润随着横坐标时间的积累就是距离，因此利润的积累实际上是利润函数的积分。我把这两家公司的利润函数画在了下面同一张图中。

我们对上述两家公司的利润函数求一下积分，这两个公司5年里20个季度累积下来，可能远不像很多人想象的差距大。建议你亲自算一下看看分别是多少。

事实上如果我们把题目稍微改一点，对比到第19个季度，反而是第一家公司累积的利润多，虽然那个季度第二家公司的利润已经高达6.12亿，而同季度第一家只有4.8亿，差距明显。

为什么会是这样的结果呢？这和指数增长快过线性增长是否矛盾呢？一点也不矛盾，因为指数增长的优势需要比较后面才看得出来。在这个例子中，第二家公司的利润在第14季度才赶上第一家，虽然后来它增长快，但是毕竟它超过前者的时间短，在2/3的时间里，都是第一家公司利润高。

从这里面我们得到一个非常重要的结论，就是滞后效应，它包含两个要点：

1. 凡是需要通过积分获得的数量，它的结果会滞后于瞬间变化，有时还要经过相当长的时间滞后才能看到。
2. 这种由积分获得的数量，一旦大到被大家都观察到之后，要逆转这个趋势是非常难的。

我们有时候也把这种效应称为飞轮效应，因为如果我们在飞轮上匀速用力，根据牛顿第二定律，它的加速度也是匀速的。而速度是加速度的积分，是一个需要积累才能看到的量，因此具有滞后效应。下面我们不妨用积分的原理，量化分析一下飞轮加速为什么很缓慢。

我们假设飞轮的质量是100千克，从边缘到轴心之间，质量的中心大约在离轴心0.32米，转动的手柄也安在那个位置，这样转一圈相当于是2米。

我们用200牛顿的力转这个飞轮，这是一个不算太小的力，根据牛顿第二定律，算下来飞轮有一个恒定的线加速度，即2米/秒^2，如果我们转化成角加速度，就是1周/秒^2，或者说，一秒钟我们可以把飞轮的角速度从零提升到每秒一圈，再过一秒，达到每秒两圈。

接下来我们来分析一下加速度、速度和转动距离(圈数)的关系。只要开始用力，瞬间就获得了加速度，是1米/秒的平方。接下来，经过1秒钟的加速，它的转速达到每秒一转，但这时已经过去了1秒钟，这就是积分的滞后效应。

这时再看它走过的距离，是0.5圈，这也是滞后效应引起的。事实上，它完成一圈的时间大约是1.4秒。也就是说，速度比加速度有滞后，距离比速度有滞后。接下来，在第二秒，它达到每秒两圈的速度，这时飞轮恰好转两圈，此后飞轮会越转越快，累积转过的圈数会以更快的速率提升。

我把上面三者的关系画了一张图，相应的公式和数据也列了出来：

a=F/m=2m/s^2

1、2秒速度是：v=at=2m/s 4m/s

1、2秒时走过的距离是：s=1/2at^2=1m、 4m

手柄距中心0.32米，手柄转一圈2m

转换成圈数是0.5、2

图中的黑线是加速度，它没有延时，红线是速度，它有滞后效应，但是不大。蓝线是距离，是加速度两次积分的结果，滞后效应很大。但是一旦飞轮飞快地转动，如果有一个人想往相反方向用力，让它减速并且扭转，也是非常困难的，需要一段时间，才能将速度降为零，然后再经过一段时间才能逆转，并抵消掉一开始转过的圈数。

我在《谷歌方法论》的206封信谈过“J曲线和滞后效应”，其更本质的原理就在于此。

怎么用？

其实在生活和工作中，我们的努力，就如同用力，你今天晚上努力了，你是知道的，但是得积累一段时间，才会提升你的能力；你的能力积累一段时间，才会变成你的成绩和业绩；而你有一次好成绩，并不会马上得到领导的赏识和同事的认可，要再过一段时间，才会有赏识和认可，才能获得自身利益。

因此我们每一个人都应该记住，从努力，到能力，到成绩，到被赏识，是一级级积分的结果。反过来也一样，当我们开始觉得自己了不起了，停止努力时，你就会发现，一段时间后，能力就不适应新的工作了，再过一段时间就会做砸几件事情，几次累积下来，在单位的处境就危险了。这时要扭转局面，为时已晚。

人有一个很大的弱点就在于，他在开始努力的一瞬间，就指望能力马上提升，然后周围的人马上肯定自己，忘记了积累效应。如果别人不肯定他，他就觉得世界对他不公平。而当人开始放松，一开始并没有出问题，但是会逐渐出问题，这时大部分人只会想自己这件事情没有做好，而不是反思自己的问题很早以前就被种下种子。

我们讲微积分，不是学那一个知识点，而是通过积分效应，提升我们的认识水平，同时能用一些工具分析和理解我们生活中的现象。

思考题：飞轮在第三秒时的速度是多少？

下一讲，我们继续讨论如何换一种动态的眼光去找问题的最优解。我们下一讲再见。——吴军数学通识五十讲