1|0第零章 运算律

设$ \bullet，+是集合是集合是集合A上的两个个代数运算任取上的两个个代数运算任取上的两个个代数运算任取a、b、c\in A$

(1)都有(a∙b)∙c=a∙(b∙c)，则称∙适合结合律

结合律需要依次验证，若不适合举反例即可

(2)都有a∙b=b∙a，则称∙适合交换律

若运算表中关于主对角线对称则称适合结合律

(3)若a∙b=a∙c  =>  b=c，称∙适合左消去律

若b∙a=c∙a  =>  b=c，称∙适合右消去律

既适合左消去律，又适合右消去律，则称适合消去律

若适合左消去律，当且仅当运算表中每一行不出现相同元素，适合右消去律当且仅当表中每一列不出现相同元素

(4)若c∙(a+b)=(c∙a)+(c∙b)，则称$ \bullet对于对于对于+$适合左分配律或第一分配律

若(a+b)∙c=(a∙c)+(b∙c)，则称$ \bullet对于对于对于+$适合右分配律或第二分配律

若既适合左分配律，又适合右分配律，则称适合分配律

2|0第一章 整除与同余

定义1.1 整除

假设、、a、b 是任意两个整数，其中 b 非零，若存在一个整数$q ，使得，使得，使得a=qb，则称为，则称为，则称为b能整除能整除能整除a，或称，或称，或称a能被能被能被b整除，记为整除，记为整除，记为b∣a，且，且，且b是是是a 的因子，的因子，的因子，a是是是b$的倍数。

定理1-1

设、、、、a、b、c是整数

(1)如果b|a且a|b，则b=a或b=−a

(2)如果a|b且b|c，则a|c (传递性)

(3)如果c|a且c|b，则c|ua+vb，其中、、u、v为整数

定义1.2 最大公因子

设c>0是两个不全为0的整数，，a，b的公因子，如果、、a、b的任何公因子都整除c，则c称为、、a、b的最大公因子，记c=(a,b)=gcd(a,b)

①公因数②最小

定理1-2 性质

(1)(a,b)=(a,−b)=(−a,b)=(−a,−b)

(2)(0,a)=|a|

欧几里得除法/辗转相除法求最大公因数

例题1-1：求(888,312)

循环	x	y	r
初始值	888	312
1	312	264	264
2	264	48	48
3	48	24	24
4	24	0	0

所以(888,312)=24

定理1-3 最大公因数的性质

设、、a、b是两个不全为零的整数，则存在两个整数、、u、v使得(a,b)=ua+vb

定义1.3 最小公倍数

设m>0是两个整数、、a、b的公倍数，如果m整除、、a、b的任何公倍数，则m称为、、a、b的最小公倍数，记为[a,b]或者lcm(a,b)

①公倍数②最小

定理1-3 性质

(1)设m是、、a、b的任意公倍数，则[a,b]|m

(2)[a,b]=a×b(a,b)

定义1.4 互素

设、、a、b是两个不全为零的整数，如果(a,b)=1，称、、a、b互素

推论：

、、a、b互素的充分必要条件是：存在、、u、v，使ua+vb=1，即(a,b)=1

定理1-4 性质

(1)如果c|ab且(c,a)=1，则c|b

(2)如果、、a|c、b|c，且(a,b)=1，则ab|c

(3)如果、、(a,c)=1、(b,c)=1，则(ab,c)=1

定义1.5 素数

如果一个大于1的整数p除了±1和±p外无其他因子，则称p为一个素数，否则称为合数

定理1-4 性质

设p是一个素数，则：

(1)对任意整数a，如果p不整除a，则(p,a)=1

(2)如果，则，则p|ab，则p|a，或p|b

定理1-5 算术基本定理

任意大于1的整数a，都可以分解成为有限个素数的乘积

a=p1×p2×p3⋯×pn

定义1-6 同余

给定称为模的正整数m，若m除整数、、a、b 得相同的余数，即存在整数和和q1和q2 使得，，a≡q1m+r，b≡q2m+r

则称a和$b 关于模关于模关于模m 同余，记为同余，记为同余，记为a ≡ b ( mod\ m ) $

定理1-5 性质

整数a 和b关于模$m 同余的充分必要条件为：同余的充分必要条件为：同余的充分必要条件为：m ∣ ( a − b ) ，即，即，即a = b + m t ，，，t 是整数。如果是整数。如果是整数。(1)如果ac\equiv bc(mod\ m)，且，且，且(c,m)=1，则，则，则(a\equiv b(mod \ m))$

(2)如果a≡b(mod m)，且d|m,d是正整数，则a≡b(mod d)

推论：如果a≡b(mod m)，

则an≡bn(mod m)，其中n为正整数

则f(a)≡f(b)(mod m)

例题1-2 求264(mod 641)

解：

28=256

216=65536≡154(mod 641)

232=1542=23716≡640(mod 641)

264=(−1)2=1(mod 641)

例题1-3 判断587是否能被3整除

解：

因为10n≡1(mod 3)，其中n是正整数，所以

588=5×102+8×10+8≡5+8+8(mod 3)=21(mod 3)=0(mod 3)

所以3|578

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3|0第二章 群

3|12.1群

定义2.1 群

设G是一个非空集合，如果在G上定义了一个代数运算，称为乘法$ ·，记为，记为，记为a ⋅ b。对于乘法，根据习惯可省略乘号写成。对于乘法，根据习惯可省略乘号写成。对于乘法，根据习惯可省略乘号写成a b ，且满足下列条件，则称，且满足下列条件，则称，且满足下列条件(1)(2)，则称 (G , ⋅ )$为一个半群，满足下列条件(1)(2)(3)(4)，则称为一个群。

(1)G关于乘法 $\bullet 是封闭的，即对于是封闭的，即对于是封闭的，即对于G中任意元素中任意元素中任意元素a 、 b$ ，有a∙b∈G。--（封闭性）

(2)G对于乘法 ∙，结合律成立，即对于G中任意元素、、、、a、b、c有a∙(b∙c)=(a∙b)∙c。--（结合律）

(3)在G中有一个元素e(左单位元)，对于G中任意元素a，有e∙a=a--(左单位元)

(4)在G中任一元素a都存在G中的一个元素b(左逆元)，有b∙a=e--(左逆元)

定义2.2 交换群或阿贝尔(Abel)群

群中的运算满足交换律，则称这个群为交换群或阿贝尔群

定理2-1 群的性质

(1)左逆元也是右逆元

(2)左单元也是右单位元

(3)单位元唯一

(4)逆元唯一

定义2.3 群的阶

G中的元素个数称为群的阶，记为|G|

如果元素个数是无限多个，称为无限群，元素个数为有限多个，称为有限群

定理2-2 乘法群满足消去律

定理2-3 群的判定定理

如果G是一个群，对于任意、、a、b∈G，方程ax=b,ya=b有解

反之，如果上述方程在非空集合G中有解，且其中的因算封闭且满足结合律，则G是一个群。

推论：

(1)如果一个非空集合G中的运算封闭且满足结合律（即为一个半群），则它是一个群的充要条件是对于任意$a、b\in G ，方程，方程，方程ax=b,ya=b$有解

(2)如果一个非空有限集合G中的运算封闭且满足结合律（即为一个有限半群），则它是一个群的充分必要条件是满足消去律。

3|22.2 子群

定义2.4 子群

一个群G的一个子集H如果对于G的乘法构成一个群，则称为G的子群。

对于任意一个群G至少有两个子群：G本身；只包含单位元的子集{e}，它们称为G的平凡子群，其他子群称为真子群

定理2-4 子群的性质

一个群G和它的一个子群H有：

(1)G的单位元和H的单位元是同一的;

(2)如果a∈H，a−1是a在G中的逆元，则a−1∈H

总结:单位元和逆元相同，且满足封闭性

定理2-5 子群的判定

判定一：

一个群G的一个非空子集H构成一个子群的充分必要条件是：

(1)对于任意的、、a、b∈H，有ab∈H

(2)对于任意a∈H，有a−1∈H

判定二：(把判定一合二为一)

一个群G的一个非空子集H构成一个子群的充分必要条件是：

对于任意a,b∈H，有ab−1∈H

判定三：(仅限于有限群H)

一个群G的一个非空有限子集H构成一个子群的充分必要条件是：

对于任意a,b∈H，有ab∈H

3|32.3 同态和同构

定义2.5 映射

一个集合A到另一个集合B的映射f对于任意的a∈A，都有唯一确定的b=f(a)∈B与之对应

定义2.6 单射

设：：f：A→B是一个映射，对于任意的，，a，b∈A如果a≠b⇒f(a)≠f(b)，则称f是从A到B的单射

定理2-6 单射的判定

：：f：A→B是一个单射当且仅当对于任意的，，a，b∈B，f(a)=f(b)⇒a=b

定义2.7 满射

设：：f：A→B是一个映射，如果对于任意的b∈B都存在a∈A，有b=f(a)，则称f是从A到B的满射

定义2.8 一一映射

既是单射又是满射的映射称为一一映射

定义2.9 复合映射

设f:A→B和g:B→C是两个映射，规定g∘f:A⟶C为对任意的x∈A，(g∘f)(x)=g(f(x))，则称g∘f为f与g的复合映射

定理2-7 特殊映射的复合

单射、满射、双射的复合还是单射、满射、双射

定义 2.10 逆映射

设f:A→B和g:B→A，如果f∘g=idB:B→B且g∘f=idA:A→A，则称f与g互为逆映射

定理2-8 特殊映射的逆映射

双射存在唯一的逆映射，且这个映射也是双射

定义2.11 变换

一个A到A的映射叫做A的一个变换

一个A到A的单射，满射或一一映射叫做A的一个单射变换，满射变换或一一变换

如果对于任意a∈A，有f(a)=a，则称映射f为恒等映射，单位映射或恒等变换

定理2-9 变换的性质

变换的复合适合结合律

定义2.12 同态和同构

设代数系统(A,∙)和代数系(B,⊙)，如果存在映射f，把A中元素映射到B中，并且对于任意、、a、b∈A，都有f(a∙b)=f(a)⊙f(b)

(乘积的像等于像的乘积)，则称f是从A到B的同态映射，如果同态映射还是一一映射，则称为同构映射

例：A=Z，$ \bullet是普通数的加法，而是普通数的加法，而是普通数的加法，而B=\({\)-1,1}，}，}，\odot$是普通数的乘法

定义f:A→B为对于任意的a∈A，f(a)=1

则对于任意、、a、b∈A，假设a∙b=c，则

f(a∙b)=f(c)=1

f(a)⊙f(b)=1⊙1=1
即对于任意、、a、b∈A，都有f(a∙b)=f(a)⊙f(b)

则f是同态，但不是满同态

我们关心群上的同态和同构：

设群(G,∙)和代数系(G′,⊙)，f是G到G′的一个映射，并且对于任意、、a、b∈G，都有f(a∙b)=f(a)⊙f(b)

(乘积的像等于像的乘积)，则称f是从A到B的同态映射，也称为同态

如果f是单射，则称f是单同态；如果f是m满射，则称f是满同态；

如果f是一一映射（双射），则称f是同构映射

如果G=G′，同态f称为自同态，同构映射f，称为自同构映射

群上的单位映射I是自同构映射

例：整数加法群Z到非零实数乘法群R∗=R∖{0}的映射f:a→ea是Z到R∗的一个同态

对于任意、、a、b∈Z，都有

f(a∙b)=f(a+b)=ea+b

f(a)⊙f(b)=ea⊙eb=aa+b

即满足f(a∙b)=f(a)⊙f(b)，f为同态映射

定理2-10 同态的性质

设群(G,∙)和群(G′,⊙)，f是G到G′的一个同态映射

(1)G的单位元e的像f(e)是G′的单位元e′，即f(e)=e′

单位元的像是单位元

(2)G中任意元a的逆元a−1的像f(a−1)是f(a)的逆元，即f(a−1)=f(a)−1

逆元的像是像的逆元

(3)G在f下的像的集合{f(a)|a∈G}是G′的子群，称为f的像子群。当f是满同态时，像子群就是G′本身

3|42.4 变换群和置换群

定义2.13 变换群

一个集合的若干变换如果对于变换的乘法构成群，则称为变换群，这里的乘法就相当于复合变换

规定：集合A上的两个变换f和g的乘法如下：对于任意a∈R，有fg(a)=f(g(a))

定理2-11 Cayley定理

任何一个群都同构与一个变换群

证明：思路是对于任何一个群，因此需要构造出与之同构的一个变换群

设G是一个群，这里构造如下一个变换集合T:T={∀x∈G,f(x)=ux|u∈G}

可以证明T是一个一一变换群

现在构造G到T的同构映射。建立一个G到T的映射如下：

，，，，π:∀a∈G，a→(∀x∈G，f(x)=ax)

对于、，、，a、b∈G，π(ab)=(∀x∈G,f(x)=abx)=π(a)π(b)，

π是一个同构映射，所以G与T同构

定义2.14 置换群

一个有限集合的若干置换构成的群称为置换群

一个有限集合的一一变换称为置换

置换群是一种特殊的变换群

定理2-12 置换的性质

一个有限集合的所有置换对于变换的乘法构成一个群

定义2.15 n次对称群

一个包含n个元素的集合的全体置换构成的群称为n次对称群

|Sn|=n!

S3包含以下6个元素：

{(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2}

S3的所有子群：

{(1)}

{(1),(1 2)}

{(1),(1 3)}

{(1),(2 3)}

{(1),(1 2 3),(1 3 2}}

{(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2}}

S4包含24个元素：

定理2-13 对称群性质

每一个有限群都与对称群的一个子群，即一个置换群同构

定义2.16 循环

S3的一个置换如下：1→2,2→3,3→1，可以用3−循环(1 2 3)表示

(i1 i2…ik)称为k−循环，其中2−循环又称为对换，k−循环的阶是k

定理2-14 不相交循环的乘积是可交换的

不相交循环即两个循环中没有相同元素，例如(2 3)和(1 5 4)

定理2-15 循环的性质

任一置换都可以表示为若干个两两不相交的循环的乘积，而且表示是唯一的

任何循环都可以表示为对换的乘积，且方式不唯一，下面给出两种方式：

(1)(1 5 4 6 3 7 2)=(1 2)(1 7)(1 3)(1 6)(1 4)(1 5)

(2)(1 5 4 6 3 7 2)=(1 5)(5 4)(4 6)(6 3)(3 7)(7 2)

定义2.17 偶(奇)置换

如果一个置换可以表示为偶(奇)数个对换的乘积，则称为偶(奇)置换

定义2.18 交错群

n元偶置换全体组成的集合为An，An对乘法构成一个群，称为交错群，其阶为|An|=n!2

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4|0第三章 循环群与群的结构

4|13.1循环群

定义3.1循环群

如果一个群G里的元素都是某一个元素g的幂，则称G为循环群，g称为G的生成元。由g生成的循环群记为(g)

定理3-1 循环群的性质

(1)循环群是交换群

(2)在n阶循环群中，有gn=e

(3)y由于n阶循环群中gn=e，则可以得到：设、、i、j是任意整数，如果i≡j(modn)，则gi=gj，gi的逆元g−i=gn−i

定理3-2 元素的阶

使得an=e成立的最小正整数n，称为元素a的阶，如果不存在这样的正整数，称a是无限阶元素

定理3-3 生成子群

一个群G的任意元素a都能生成一个循环群，他是G的子群。如果a是无限阶元素，则a生成无限循环群；如果a是n阶元素，则a生成n阶循环群。

定理3-4 元素阶的性质

如果|a|=n，则：

(1)ai=e，当且仅当n|i

(2)ak的阶为n(k,n)

推论

由元素g生成的n阶循环群G中任意元素gk(0<k≤n−1)的阶为n(n,k)，当且仅当、、n、k互素，即(n,k)=1时，gk的阶为n，也是G的生成元

总结：元素阶数与群阶数互素时，为生成元

例如8阶循环群的生成元为、、、、、、g、g3、g5、g7

欧拉函数φ(n)

φ(n)表示在整数集合{0,1,2,…,n−1}中与n互素的数字的个数

因此n阶循环群共有φ(n)个生成元

定理3-5

(1)循环群的子群是循环群，它或者仅由单位元构成，或者对n的每一个正因子q，有且仅有一个q阶子群

(2)无线循环群的子群除e外都是无限循环群

(3)有限n阶循环群的子群的阶是n的正因子，且对n的每一个正因子q，有且仅有一个q阶子群，由gnd生成

例1 写出8阶循环群G的真子群

解：8的所有正因子为2、4，相应的子群分别为{e,g2,g4,g6},{e,g4}

例2 证明：设p是一个素数，则阶是pm的群一定有一个阶为p的子群

例3 分别求出15、20阶循环群的真子群

解：由定理3可知：15阶群的子群的阶是1，3，5，15，其中阶数为3，5的子群为真子群，并且由g5和g3生成

所以真子群为{e,g3,g6,g9,g12},{e,g5,g10}

同理可得20阶循环群的真子群分别为g2,g4,g5,g10分别生成的10,5,4,2阶群

4|23.2 剩余类群

定义3.2 剩余类群

我们可以将全体整数按模m分成m个剩余类：0―,1―,2―…,m−1―，这m个剩余类称为模m剩余类

定理3-6

任意无限循环群与整数加群Z同构；任意有限n阶循环群与n阶剩余类加群同构

证明：设(g)为任意循环群。

如果(g)是无线循环群，做整数加群Z到(g)的映射如下：对于任意k∈Zn，有f(k)=gk

这是一个一一映射，而且对于k,h∈Z，有f(k)f(h)=gkgh=gk+h=f(k+h)

故f是Z到(g)的同构映射，(g)与Z同构

如果(g)是n阶循环群，做模n剩余类加群Zn到(g)的映射：对于任意k―∈Zn，有f(k―)=gk

这显然是一一映射，且对于、、k―、h―∈Zn，有f(k―)f(h―)=gkgh=gk+h=f(k+h―)

故f是Zn到(g)的同构映射，(g)与Z同构

这个定理说明了任意无限循环群互相同构，任意同解循环群互相同构，所有只需要了解整数加群和剩余类群就了解了一切无限循环群和有限循环群的构造了

4|33.3 子群的陪集

定理3-7

设G是一个群。

(1)对于任意a∈G，集合aG={ah|h∈G}=G

(2)GG={ah|h∈G,a∈G}=G

定义3.3 陪集

设H是群G的一个子群，对于任意a∈G，集合aH={ah|h∈H}，称为H的一个左陪集，记为aH

同样定义右陪集Ha={ha|h∈H}

对于交换群，左右陪集是一致的，可以称为陪集

由于当a∈H时有aH=H，则H也可以是自己的一个左陪集，右陪集同理。

例 四次对称群S4的一个四阶子群：H=(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23))，求出H的全部左陪集

解：由于|S4|=4!=24,|H|=4，则|S4/H|=6

定理3-8 陪集的性质

(1)左陪集可由aH中的任意一个元素唯一确定。假设b∈aH，即b=ah(h∈H)，则bH=ahH=a(hH)=aH

同理右陪集可由Ha中任意一个元素唯一确定。

(2)设H是群G的一个子群。H的任意两个左(右)陪集或者相等或者无公共元素。群G可以表示成若干个互不相交的左(右)陪集的并集。

设H是群G的一个子群，a,b∈G，则

①a∈aH  (a∈Ha)

②a∈bH⇔aH=bH⇔a−1b∈H

a∈Hb⇔Ha=Hb⇔ab−1∈H

说明了陪集中任何元素都可以作为代表元

③|aH|=|Ha|=|H|

定理3-9 划分

群G的一个子群H的左(右)陪集是对G的一个划分

(1)陪集元素数目

对于有限子群H，每个左(右)陪集内元素的数目都等于H的阶

对于无限子群H，H中的元素与陪集中的元素一一对应

(2)陪集也可以称为子群吗？由于单位元只存在在一个陪集中，故除H外都不是群

定理3-10 拉格朗日(Lagrange)定理

设G是一个有限群，H是一个子群，则H的阶是G的阶的因子
拉格朗日定理可以表达为如下数学表达式：

|G|=|H|∙[G:H]

其中，|G|表示原群G的阶，|H|表示子群的阶，[G:H]表示H的左陪集的个数，也称H的指数

推论：

(1)有限群G中的每一个元素的阶一定是G的阶的因子。设G的阶为n，则对任意的a∈G，有an=e

(2)阶为素数的群一定为循环群

求证：阶为素数的群一定为循环群

证明：设群G的阶位素数。即|G|是素数

当|G|>1时，取a∈G且a≠e，则a生成一个循环子群H，且|H|≠1(是因为a≠e)

由于|H|是|G|的因子，而当|G|为素数时，它只有1和|G|两个因子，故|H|=|G|，这表明H=G，G是一个循环群

4|43.4 正规子群与商群

定义3.4 正规子群

设群H是群G的子群。如果H的每一个左陪集也是右陪集，即对于任意a∈G，总有aH=Ha，则称H为G的正规子群，或不变子群

显然交换群(Abel群)的所有子群都是正规子群

定理3-11 正规子群的性质

设H是群G的一个子群，下列四个命题等价

(1)H是群的正规子群

(2)对于任意a∈G，总有aHa−1=H

(3)对于任意a∈G以及任意h∈H，总有aha−1∈H

(4)对于任意a∈G，总有aHa−1⊆H

定理3-12 正规子群的判定

设H是群G的一个子群，H是正规子群的充要条件是任意两个左(右)陪集的乘积任然是一个左(右)陪集

定义 3.5 商群

如果H是群G的正规子群，则H的群体陪集{aH|a∈G}对于群子集的乘法构成群，这个群为G对正规子群H的商群，记为G/H

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5|0第四章 环

5|14.1 环与子环

定义4.1 环

设R是一非空集合，在R上定义了加法和乘法两种代数运算，分别记为+,∙，如果R具有如下性质：

(1)R对于加法是一个交换群 (即满足群的定义且满足交换律)

(2)R对与乘法是封闭的

(3)乘法满足结合律即对于任意a,b,c∈R，有a∙(b∙c)=(a∙b)∙c

(4)分配律成立，即对于任意a,b,c∈R，有a∙(b+c)=a∙b+a∙c,(b+c)∙a=b∙a+c∙a

则称(R,+,∙)为一个环。即对于加法是交换群，对于乘法是半群，分配律成立。

如果环R关于乘法还满足交换律，即对于任意a,b,∈R，总有a∙b=b∙a，称R为交换环。

例如

全体整数集合Z对于普通的加法和乘法构成的环称为整数环

定义模m的剩余类集合上的乘法：i― j―=ij―(modm)，则剩余类集合对于剩余类加法和乘法构成一个交换环，称为模m的剩余类环

定理4-1 环的计算规则

略

定义4.2 零因子

如果在一个环R里a≠0,b≠0，但ab=0，称a是这个环的一个左零因子，b是这个环的一个右零因子。显然在交换环中左零因子也是右零因子，称为零因子。非交换环中的左右零因子也可能成为零因子。如果一个环没用零因子，则称为无零因子环。

例如 模12剩余类环中的零因子是：2,3,4,6,8,9,10

当m是素数时，模m剩余类环无零因子

定理4-2 零因子的性质

在没用任何零因子的环里消去律成立，即如果a≠0，则ab=ac⇒b=c,ba=ca⇒b=c，反之上面的消去律任成立一个，则环里没有零因子

证明：由ab=ac，得到a(b−c)=0

因为a≠0，且环里没有零因子，则b−c=0，即b=c

另一个消去律同样可证

反之，假定第一个消去律成立，如果ab=0=a0

假设a≠0，运用消去律得b=0。这说明、、a、b不可能同时非零，则环里没用零因子

第二个消去律成立的情形同样可证。

定义4.3 子环 扩环

如果一个环R的自己S对于R中的运算也构成环，则称S为R的子环，为为R为S的扩环

一个环R自身的子环。仅含零元的集合{0}也构成R的子环。对任意一个环R至少有两个子环，即R本身和只包含单位元的子集{0}，他们称为R的平凡子环

例如：全体素数的集合构成一个环，是整数环的子环，而整数环是它的扩环

定理4-3 子环的判定

一个环的一个子集S构成一个子环的条件：对于任意、、a、b∈S，有a−b∈S,ab∈S

例题1：

求证：整数环Z中的所有整数的倍数nZ={rn|r∈Z}是Z的子环

证明：对于任意、、a、b∈nZ，假设a=r1n,b=r2n其、、r1、r2∈Z

则a−b=r1n−r2n=(r1−r2)n∈nZ(因为r1−r2∈Z)

ab=(r1n)(r2n)=(r1r2n)n∈Z(因为r1r2n∈Z)

所以nZ是Z的子环

例题2：

设R是一个环，a∈R，证明S={x|x∈R,ax=0}是R的子环

证明：设x,y∈S，则ax=0,ay=0且(x−y)∈S

因为a(x−y)=ax−ay=0+0=0

所以x−y∈S

因为a(xy)=(ax)y=0y=0且xy∈R

所以xy∈S

所以S={x|x∈R,ax=0}是R的子环

5|24.2 整环、除环与域

定义4.4 整环

如果一个环满足下列调节：

(1)R是交换环(在环的基础上，乘法满足交换律)

(2)存在单位元，且1≠0

(3)没有零因子

则称R为整环。即有单位元，无零因子的交换环称为整环。

例如 整数环、全体有理数、全体实数和全体复数都是整环

定义4.5 除环

如果一个环R存在非零元，而且全体非零元构成一个乘法群，则称R为除环。

可以认为除环是一个加法群+乘法群+分配律

除环中无零因子，由于非零元乘法构成群意味着消去律成立，所以没用零因子。

全体有理数Q、全体实数R和全体复数C对于普通的加法和乘法都是除环

定义4.6 域

定义1：一个交换除环称为一个域

定义2：设(R,+,∙)是环，如果(R,+)和(R∖{0},∙)都是交换群，且满足分配律，则称(R,+,∙)是域

如果一个集合F是一个域应该满足以下3个条件:

定义3：一个具有加法和乘法的非空集合，具有以下三个条件

(1)关于加法构成交换群

(2)非零元全体关于乘法构成交换群

(3)乘法对加法满足分配律

---

当p是素数时，模p剩余类集合对剩余类加法和乘法构成一个域，记为GF(p)。GF(p)非零元集合为GF∗(p)={1―2―…p−1―}

证明：已知GF(p)是一个加法交换群，现在证明GF(p)非零元集合GF∗(p)构成一乘法交换群，从而GF(p)是一个域。

(0)GF(p)关于加法是一个交换群

①加法封闭性：对于任意a,b∈GF(p)，a+b∈GF(p)

②加法结合律：对于任意，，a,b,c∈GF(p)，(a+b)+c=a+(b+c)

③负元：对于任意，，a∈GF(p)，a−1=an−1

④零元：0

⑤交换律：a+b=b+a成立

GF(p)是一个乘法交换群

(1)乘法结合律和交换律显然满足

(2)对于任意0<i,j≤p−1，由于(p,i)=1,(p,j)=1，则(p,ij)=1,ij≠0(modp)

于是i― j―=ij(modp)―≠0―，即i― j―∈GF∗(p)，乘法封闭

(3)1―是乘法单位元

(4)对于任意i―∈GF∗(p)，i―与$ GF^{*}(p)中的每一个元素相乘得中的每一个元素相乘得中的每一个元素相乘得\overline1 \ \overline i,\overline2 \ \overline i,\dots,\overline{p-1} \ \overline i，这，这，这p-1$个结果两两不同。

否则假设如果a―≠b―，但i― a―=i― b―，这意味着p|(ia−ib)=i(a−b)

而(p,i)=1，则只有p|(a−b)，这与a―≠b―矛盾

上述的p−1个不同的结果跑遍GP∗(p)的全部元素，当然也包括单位元1―，所以i―存在逆元。

故GF∗(p)是一个乘法交换群，GF(p)是一个域

群、环、域的结构图

5|34.3环的同态与理想

定义4.7 同态

(R,+,∙)和(R′,⊕,⊗)是两个环，如果存在R到R′的一个映射f，加法和乘法都在f下得到保持，即对于任意、、a、b∈R，f(ab)=f(a)f(b),f(a+b)=f(a)+f(b)，则称f是R到R′的同态映射，简称同态。

如果f是单射，则称f的单同态；如果f是满射，则称f的满同态；

如果f是一一映射，则称f的同构(映射)，此时(R,+,∙)和(R′,⊕,⊗)同构，并用R≅R′表示

定理4-4 同态的性质

f是环R到R′的同态，则有

(1)f(0)=0′(0′是R′的零元)

(2)对于任意a∈R，有f(−a)=−f(a)

(3)如果R有单位元，则R′也有单位元1′，且f(1)=1′

(4)如果R有单位元，且a∈R可你，则f(a)在R′中可逆，且f(a)−1=f(a−1)

(5)如果R是交换环，整环，除环，域，则R′也是交换环，整环，除环，域。

6|0第五章 多项式环与有限域

6|15.1 多项式环

定义5.1 多项式相关

设F是一个域，设an≠0，

称f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0(ai∈F,n是非负整数)是F上的一元n次多项式，其中x是一个未定元。

称anxn为首项。n是多项式的次数，记为deg(f(x))=n。如果an=1，则称f(x)为首一多项式。

如果f(x)=a0≠0，则约定deg(f(x)=0)，为0次多项式。

F上的全体一元多项式的集合用F[x]表示。

当ai=0时，即f(x)=0，称为零多项式

定理 5-1 F[x]是具有单位元的整环

定义5.2 多项式整除

对于，，f(x),g(x)∈F[x]，f(x)≠0。如果存在q(x)∈F[x]，使得g(x)=q(x)f(x)，则称f(x)整除g(x)，记为f(x)|g(x)，f(x)称为g(x)的因式。

如果(f(k))k|g(x)，但(f(x))k+1不能整除g(x)，则称f(x)是g(x)的k重因式

定理5-2 多项式整除的性质

多项式整除具有下列性质(其中c≠0∈F)：

(1)f(x)|0

(2)c|f(x)因为(f(x)=c(c−1f(x)))

(3)如果f(x)|g(x)，则cf(x)|g(x)

(4)如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则f(x)|h(x)

(5)如果f(x)|g(x),f(x)|h(x)，则对于任意u(x),v(x∈F[x])，有f(x)|u(x)g(x)+v(x)h(x)

(6)如果f(x)|g(x),g(x)|f(x)，则存在c≠0∈F满足f(x)=cg(x)

类比于整数整除的性质

定义5.3 互素

f(x),g(x)∈F[x]为不全为零多项式。设d(x)≠0∈F[x]，如果、、d(x)|f(x)、d(x)|g(x)，则称d(x)是、、f(x)、g(x)的一个公因式。如果公因式d(x)是首一多项式(最高项系数为1)，而且、、f(x)、g(x)的任何公因式都整除d(x)，则称d(x)是、、f(x)、g(x)的最大公因式，记为(f(x),g(x))。如果(f(x),g(x))=1，则称(f(x),g(x))互素。(参考整数互素)

欧几里得除法\辗转相除法求最大公因式

例题 求GF(2)[x]上多项式f(x)=x5+x3+x+1,g(x)=x3+x2+x+1的最大公因式

解：由欧几里得算法：

x5+x3+x+1=(x2+x+1)(x3+x2+x+1)+(x2+x)

x3+x2+x+1=x(x2+x)+(x+1)

x2+x=x(x+1)

故：(f(x),g(x))=x+1

注：计算时使用模2除算出商和余数

定理5-3 互素的性质

当f(x),g(x)互素时，存在a(x),b(x)∈F[x]，使得a(x)f(x)+b(x)g(x)=1

定义5.4 不可约多项式

设p(x)∈F[x]为一多项式，且deg(p(x))≥1，如果p(x)在F[x]内的因式仅由零次多项式及cp(x)(c≠0∈F[x])，则称p(x)是F[x]内的一个不可约多项式，否则称为可约多项式。

例如：Z[x]上的多项式(x2+1)不可约，但GF(2)[x]上的多项式x2+1可约：x2+1=(x+1)2

例：列出GF(2)五次以内的不可约多项式

次数	多项式
0	1
1	x,x+1
2	x2+x+1
3	x3+x2+1,x3+x+1
4	x4+x3+x2+x+1,x4+x3+1,x4+x+1
5	x5+x3+x2+x+1,x5+x4+x2+x+1,x5+x4+x3+x+1,x5+x4+x3+x2+1,x5+x3+1,x5+x2+1

定理5-4 因式分解唯一定理

F[x]上的多项式可以分解为首一不可约多项式的幂的乘积的形式

定理5-5 多项式分解

一个多项式f(x)∈F[x]含有因式x−a(a∈F)，当且仅当f(a)=0

例题 分解GF(2)[x]上的多项式：f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1

解：由于f(1)=0，所有有公因式子x+1，运用多项式除法得f(x)=(x+1)(x4+x2+1)

通过试探得到(x4+x2+1)=(x2+x+1)2

故f(x)=(x+1)(x2+x+1)2

在GF(2)[x]上有(f(x)+g(x))2=f(x)2+g(x)2，因此x4+x2+1=(x2+x)2+12=(x2+x+1)2

6|25.2 多项式剩余类环

定义5.5 同余

设 f(x)∈F[x]是首一多项式。对于、、a(x)、b(x)∈F[x]，如果f(x)除、、a(x)、b(x)得相同的余式，即a(x)=q1(x)f(x)+r(x),b(x)=q2f(x)+r(x)，则称a(x)和b(x)关于模f(x)同余，记为a(x)≡b(x)modf(x)

由此可见，a(x)≡b(x) modf(x)当且仅当a(x)−b(x)=g(x)f(x),g(x)∈F[x]或f(x)|(a(x)−b(x))

令a(x)―说F[x]中和a(x)关于模f(x)同余的全体多项式集合。与整数情形类似，可以把F[x]划分成剩余类，这些剩余类的集合记为F[x]modf(x)

GF(2)[x]mod(x2+1)={0―,1―,x―,x+1―}

定义多项式加法和乘法分别为

a(x)―+b(x)―=a(x)+b(x)―

a(x)― b(x)―=a(x)b(x)―

定理5-6 多项式剩余类环

设f(x)∈F[x]是一个首一多项式，且deg(f(x))>0，则F[x]modf(x)构成具有单位元的交换环，称为多项式剩余类环

多项式剩余类环中可能存在零因子，例如GF(2)[x]mod(x2+1)中x+1―就是零因子，因为x+1― x+1―=x2+1―=0―

定理5-7 多项式域

如果f(x)是F上的首一不可约多项式，则F[x]modf(x)构成域

6|35.3 有限域

定义5.6 有限域

有限个元素构成的域称为有限域或Galois(伽罗瓦)域。域中元素的个数称为有限域的阶

定义5.7 本原元

q阶有限域中阶位q−1的元素称为本原域元素，简称本原元

定理5-8 有限域中一定含有本原元

定义5.8 加法阶

设a是域中的一个元素，使na=a+a+⋯+a=0的最小正整数n是a的加法阶。如果不存在这样的n，则加法阶时无限大

定理 5-9 加法阶的性质

在一个无零因子环R里，所有非零元的加法阶都相同。当加法阶有限时它他一定是一个素数。

GF(7)中的非零元素的加法阶都是7

定义5.9 素域

域中非零元的加法阶称为环的特征，当加法阶为无限大时，称特征为0

域的特征或是0，或者是一个素数。有限域的特征是素数。

GF(p)的特征为p，即GF(p)=|GF(p)|=p

如果一个域F不再包含有真子集作为F的子域，则称F为素域

定理5-10

阶位素数的有限域必为素域

定理5-11

(1)素数p阶域的特征为p

(2)任何素数p阶域与GF(p)同构

定理5-12

如果f(x)是GF(p)上的m次首一不可约多项式，则GF(p)[x]modf(x)构成pm阶有限域GF(pm)

定理5-13

任意GF(pm)有限域同构

基于该定理，任意pm阶有限域都可记为GF(pm)，不加以群分，这与任意素数域都记为GF(p)同理